Номер 5.30, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.3. Логарифмическая функция. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.30, страница 157.

5.30 Для каких x функция $y = \log_a x (a > 1)$:

a) положительна;

б) отрицательна?

а) положительна
Чтобы функция $y = \log_a x$ была положительна, должно выполняться неравенство $y > 0$.
$\log_a x > 0$
Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно единице, поэтому $a^0 = 1$. В логарифмической форме это записывается как $\log_a 1 = 0$.
Подставим это в наше неравенство:
$\log_a x > \log_a 1$
По условию задачи, основание логарифма $a > 1$. Для логарифмической функции с основанием больше единицы характерно то, что она является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от сравнения логарифмов к сравнению их аргументов знак неравенства сохраняется:
$x > 1$
Это решение удовлетворяет области определения логарифмической функции, согласно которой аргумент должен быть строго положительным ($x > 0$).
Ответ: $x > 1$.

б) отрицательна
Чтобы функция $y = \log_a x$ была отрицательна, должно выполняться неравенство $y < 0$.
$\log_a x < 0$
Аналогично предыдущему пункту, заменим $0$ на $\log_a 1$:
$\log_a x < \log_a 1$
Так как основание $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:
$x < 1$
При этом необходимо учитывать область определения логарифма, которая требует, чтобы аргумент был строго положительным: $x > 0$.
Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство:
$0 < x < 1$
Ответ: $0 < x < 1$.