Номер 5.24, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.24, страница 154.

5.24 Найдите значение числового выражения:

а) $\log_3 27 - \log_{\sqrt{3}} 27 - \log_{\frac{1}{3}} 27 - \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left(\frac{64}{27}\right)$;

б) $\log_{0.4} \left(\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{50}\right) + \log_{0.6} \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) + \log_{0.32} \left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right)$;

в) $\left(\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{\frac{1}{4}} + 6\log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}\right) - 2\log_{\frac{1}{16}} \left(\frac{1}{4}\right)\right) : \log_{\sqrt{2}} \sqrt[5]{8}.$

а)

Для решения данного выражения вычислим значение каждого логарифма по отдельности, используя свойства логарифмов, в частности формулу перехода к новому основанию $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $ и $ \log_a a^n = n $.

1. Первый член: $ \log_{3} 27 = \log_{3} 3^3 = 3 $.

2. Второй член: $ \log_{\sqrt{3}} 27 = \log_{3^{1/2}} 3^3 = \frac{3}{1/2} \log_{3} 3 = 2 \cdot 3 = 6 $.

3. Третий член: $ \log_{\frac{1}{3}} 27 = \log_{3^{-1}} 3^3 = \frac{3}{-1} \log_{3} 3 = -3 $.

4. Четвертый член: $ \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left(\frac{64}{27}\right) $. Представим аргумент логарифма как степень основания: $ \frac{64}{27} = \frac{4^3}{3^3} = \frac{(2^2)^3}{3^3} = \frac{2^6}{3^3} = \frac{2^6}{(\sqrt{3})^6} = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^6 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-6} $.
Следовательно, $ \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{-6} = -6 $.

5. Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение: $ 3 - 6 - (-3) - (-6) = 3 - 6 + 3 + 6 = 6 $.

Ответ: 6

б)

Для решения преобразуем основания и аргументы логарифмов так, чтобы аргумент стал степенью основания.

1. Первый член: $ \log_{0.4} \left(\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{50}\right) $.
Основание: $ 0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.
Аргумент: $ \frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{50} = \frac{1}{5} \cdot (2 \cdot 25)^{1/3} = 5^{-1} \cdot 2^{1/3} \cdot (5^2)^{1/3} = 5^{-1} \cdot 2^{1/3} \cdot 5^{2/3} = 2^{1/3} \cdot 5^{-1/3} = \left(\frac{2}{5}\right)^{1/3} $.
Тогда $ \log_{2/5} \left(\frac{2}{5}\right)^{1/3} = \frac{1}{3} $.

2. Второй член: $ \log_{0.6} \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) $.
Основание: $ 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
Аргумент: $ \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{\sqrt{3 \cdot 5}}{5} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{3}}{5^{1/2}} = \left(\frac{3}{5}\right)^{1/2} $.
Тогда $ \log_{3/5} \left(\frac{3}{5}\right)^{1/2} = \frac{1}{2} $.

3. Третий член: $ \log_{0.32} \left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right) $.
Основание: $ 0.32 = \frac{32}{100} = \frac{8}{25} $.
Аргумент: $ \frac{2\sqrt{2}}{5} = \frac{2^1 \cdot 2^{1/2}}{5} = \frac{2^{3/2}}{5} $.
Пусть $ x = \log_{8/25} \left(\frac{2^{3/2}}{5}\right) $, тогда $ \left(\frac{8}{25}\right)^x = \frac{2^{3/2}}{5} \implies \left(\frac{2^3}{5^2}\right)^x = \frac{2^{3/2}}{5^1} \implies \frac{2^{3x}}{5^{2x}} = \frac{2^{3/2}}{5^1} $.
Приравнивая показатели степеней для $2$ и $5$, получаем: $ 3x = 3/2 \implies x=1/2 $ и $ 2x = 1 \implies x=1/2 $. Значит, значение логарифма равно $ \frac{1}{2} $.

4. Суммируем полученные значения: $ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} $.

Ответ: $ \frac{4}{3} $

в)

Решим задачу по частям: сначала вычислим значение выражения в скобках, затем значение делителя, и в конце выполним деление.

1. Вычислим выражение в скобках: $ \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{\frac{1}{4}} + 6\log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}\right) - 2\log_{\frac{1}{16}} \left(\frac{1}{4}\right) $.
Приведем все логарифмы к основанию $ \frac{1}{2} $.
- $ \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \log_{\frac{1}{2}} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{1/3} = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{2/3} = \frac{2}{3} $.
- $ 6\log_{\frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}\right) = 6\log_{(\frac{1}{2})^2} \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 6 \cdot \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right) = 3 $.
- $ -2\log_{\frac{1}{16}} \left(\frac{1}{4}\right) = -2\log_{(\frac{1}{2})^4} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = -2 \cdot \frac{2}{4} \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 $.
Сумма в скобках: $ \frac{2}{3} + 3 - 1 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2+6}{3} = \frac{8}{3} $.

2. Вычислим делитель: $ \log_{\sqrt{2}} \sqrt[5]{8} $.
Приведем к основанию $2$.
$ \log_{\sqrt{2}} \sqrt[5]{8} = \log_{2^{1/2}} (2^3)^{1/5} = \log_{2^{1/2}} 2^{3/5} = \frac{3/5}{1/2} \log_2 2 = \frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5} $.

3. Выполним деление: $ \left(\frac{8}{3}\right) : \left(\frac{6}{5}\right) = \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{40}{18} = \frac{20}{9} $.

Ответ: $ \frac{20}{9} $