Номер 5.17, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.17, страница 153.

5.17 a) $log_6 2 + log_6 3;$

б) $log_8 \frac{8}{7} + log_8 \frac{7}{8};$

в) $log_{15} 5 + log_{15} 3;$

г) $log_4 \frac{2}{3} + log_4 6;$

д) $log_2 \frac{2}{5} + log_2 10;$

е) $log_3 \frac{9}{10} + log_3 30.$

а) Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием используется свойство логарифма произведения: $\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)$.
Применяем это свойство: $\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6(2 \cdot 3) = \log_6 6$.
По определению логарифма, если основание равно логарифмируемому числу, то логарифм равен единице ($\log_a a = 1$).
Следовательно, $\log_6 6 = 1$.
Ответ: 1

б) Используем то же свойство суммы логарифмов:
$\log_8 \frac{8}{7} + \log_8 \frac{7}{8} = \log_8(\frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8}) = \log_8 1$.
Логарифм единицы по любому основанию равен нулю ($\log_a 1 = 0$).
Таким образом, $\log_8 1 = 0$.
Ответ: 0

в) Применяем свойство суммы логарифмов:
$\log_{15} 5 + \log_{15} 3 = \log_{15}(5 \cdot 3) = \log_{15} 15$.
Так как основание логарифма равно логарифмируемому числу, результат равен 1.
$\log_{15} 15 = 1$.
Ответ: 1

г) Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_4 \frac{2}{3} + \log_4 6 = \log_4(\frac{2}{3} \cdot 6) = \log_4(\frac{12}{3}) = \log_4 4$.
По свойству $\log_a a = 1$, получаем $\log_4 4 = 1$.
Ответ: 1

д) Применяем свойство суммы логарифмов:
$\log_2 \frac{2}{5} + \log_2 10 = \log_2(\frac{2}{5} \cdot 10) = \log_2(\frac{20}{5}) = \log_2 4$.
Далее вычисляем значение логарифма. Нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 4. Поскольку $2^2 = 4$, то $\log_2 4 = 2$.
Ответ: 2

е) Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_3 \frac{9}{10} + \log_3 30 = \log_3(\frac{9}{10} \cdot 30) = \log_3(9 \cdot 3) = \log_3 27$.
Вычисляем значение логарифма. Нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить 27. Поскольку $3^3 = 27$, то $\log_3 27 = 3$.
Ответ: 3