Номер 5.18, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.18, страница 153.

5.18 a) $ \log_2 6 - \log_2 3; $

в) $ \log_3 36 - \log_3 4; $

д) $ \log_7 \frac{49}{50} - \log_7 \frac{7}{50}; $

б) $ \log_5 75 - \log_5 3; $

г) $ \log_4 48 - \log_4 3; $

е) $ \log_3 \frac{81}{100} - \log_3 \frac{3}{100}. $

а) Для решения данного выражения воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$.
$\log_2 6 - \log_2 3 = \log_2\left(\frac{6}{3}\right) = \log_2 2$.
По определению логарифма, $\log_a a = 1$, следовательно, $\log_2 2 = 1$.
Ответ: 1

б) Применяем то же свойство разности логарифмов:
$\log_5 75 - \log_5 3 = \log_5\left(\frac{75}{3}\right) = \log_5 25$.
Так как $25 = 5^2$, то $\log_5 25 = \log_5(5^2) = 2$.
Ответ: 2

в) Используем свойство разности логарифмов:
$\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3\left(\frac{36}{4}\right) = \log_3 9$.
Так как $9 = 3^2$, то $\log_3 9 = \log_3(3^2) = 2$.
Ответ: 2

г) Используем свойство разности логарифмов:
$\log_4 48 - \log_4 3 = \log_4\left(\frac{48}{3}\right) = \log_4 16$.
Так как $16 = 4^2$, то $\log_4 16 = \log_4(4^2) = 2$.
Ответ: 2

д) Используем свойство разности логарифмов. При делении дробей вторая дробь переворачивается.
$\log_7 \frac{49}{50} - \log_7 \frac{7}{50} = \log_7\left(\frac{49/50}{7/50}\right) = \log_7\left(\frac{49}{50} \cdot \frac{50}{7}\right) = \log_7\left(\frac{49}{7}\right) = \log_7 7$.
По свойству $\log_a a = 1$, получаем $\log_7 7 = 1$.
Ответ: 1

е) Используем свойство разности логарифмов:
$\log_3 \frac{81}{100} - \log_3 \frac{3}{100} = \log_3\left(\frac{81/100}{3/100}\right) = \log_3\left(\frac{81}{100} \cdot \frac{100}{3}\right) = \log_3\left(\frac{81}{3}\right) = \log_3 27$.
Так как $27 = 3^3$, то $\log_3 27 = \log_3(3^3) = 3$.
Ответ: 3