Номер 5.23, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.23, страница 154.

5.23 Вычислите:

а) $2^{\frac{1}{\log_5 2}};$

б) $3^{\frac{1}{\log_5 3}};$

в) $7^{\frac{1}{\log_2 7}};$

г) $10^{\frac{1}{\log_2 10}};$

д) $5^{\frac{1}{\log_7 5}};$

е) $6^{\frac{1}{\log_2 6}}.$

а) Для решения этого примера мы будем использовать два ключевых свойства логарифмов.
Первое свойство — это формула перехода к другому основанию, которая в данном случае выглядит так: $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$. С помощью этого свойства мы можем преобразовать показатель степени.
Преобразуем показатель:
$\frac{1}{\log_5 2} = \log_2 5$
Теперь исходное выражение принимает вид:
$2^{\frac{1}{\log_5 2}} = 2^{\log_2 5}$
Второе свойство — это основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$. Применим его к нашему выражению:
$2^{\log_2 5} = 5$
Ответ: 5

б) Используем тот же подход. Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.
$\frac{1}{\log_5 3} = \log_3 5$
Подставим это преобразование в исходное выражение:
$3^{\frac{1}{\log_5 3}} = 3^{\log_3 5}$
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 5} = 5$
Ответ: 5

в) Снова применим свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ к показателю степени.
$\frac{1}{\log_2 7} = \log_7 2$
Подставим полученное выражение обратно в степень:
$7^{\frac{1}{\log_2 7}} = 7^{\log_7 2}$
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, находим результат:
$7^{\log_7 2} = 2$
Ответ: 2

г) Преобразуем показатель степени с помощью свойства $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.
$\frac{1}{\log_2 10} = \log_{10} 2$
Подставим это в наше выражение:
$10^{\frac{1}{\log_2 10}} = 10^{\log_{10} 2}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$10^{\log_{10} 2} = 2$
Ответ: 2

д) Воспользуемся свойством $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ для преобразования показателя степени.
$\frac{1}{\log_7 5} = \log_5 7$
Теперь исходное выражение можно записать как:
$5^{\frac{1}{\log_7 5}} = 5^{\log_5 7}$
Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 7} = 7$
Ответ: 7

е) Используем свойство логарифмов $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ для показателя степени.
$\frac{1}{\log_2 6} = \log_6 2$
Подставим преобразованный показатель в выражение:
$6^{\frac{1}{\log_2 6}} = 6^{\log_6 2}$
Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$6^{\log_6 2} = 2$
Ответ: 2