Номер 5.16, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.16, страница 153.

5.16 a) $\log_2 \sqrt[3]{16}$;

б) $\log_3 (27\sqrt{3})$;

в) $\log_5 \sqrt{5\sqrt{5}}$;

г) $\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{3}}} 9$;

д) $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt[3]{128\sqrt{2}}$.

a) $log_2 \sqrt[3]{16}$

Для вычисления логарифма необходимо представить его аргумент, $\sqrt[3]{16}$, в виде степени с основанием 2.
Сначала представим число 16 как степень двойки: $16 = 2^4$.
Теперь преобразуем весь аргумент: $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$.
Подставим полученное выражение в логарифм: $log_2 \sqrt[3]{16} = log_2 (2^{\frac{4}{3}})$.
Используя основное свойство логарифма $log_a(a^x) = x$, получаем результат:
$log_2 (2^{\frac{4}{3}}) = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

б) $log_3 (27\sqrt{3})$

Представим аргумент логарифма, $(27\sqrt{3})$, в виде степени с основанием 3.
Разложим множители на степени тройки: $27 = 3^3$ и $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Перемножим их: $27\sqrt{3} = 3^3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{3+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{2}+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{7}{2}}$.
Теперь исходный логарифм выглядит так: $log_3(3^{\frac{7}{2}})$.
По свойству $log_a(a^x) = x$ находим значение:
$log_3(3^{\frac{7}{2}}) = \frac{7}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}$.

в) $log_5 \sqrt{5\sqrt{5}}$

Представим аргумент логарифма, $\sqrt{5\sqrt{5}}$, в виде степени с основанием 5.
Начнем преобразование с внутреннего выражения: $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.
Теперь учтем внешний корень: $\sqrt{5\sqrt{5}} = \sqrt{5^{\frac{3}{2}}} = (5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{4}}$.
Подставляем в логарифм: $log_5 \sqrt{5\sqrt{5}} = log_5(5^{\frac{3}{4}})$.
Используя свойство $log_a(a^x) = x$, получаем:
$log_5(5^{\frac{3}{4}}) = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

г) $log_{\sqrt[3]{\frac{1}{3}}} 9$

Для решения представим основание и аргумент логарифма как степени одного числа, в данном случае числа 3.
Преобразуем основание: $\sqrt[3]{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3^{-1}} = (3^{-1})^{\frac{1}{3}} = 3^{-\frac{1}{3}}$.
Преобразуем аргумент: $9 = 3^2$.
Теперь логарифм имеет вид: $log_{3^{-1/3}} (3^2)$.
Воспользуемся свойством логарифма $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} log_a b$:
$log_{3^{-1/3}} (3^2) = \frac{2}{-\frac{1}{3}} log_3 3 = \frac{2}{-\frac{1}{3}} \cdot 1 = -2 \cdot 3 = -6$.
Ответ: $-6$.

д) $log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt[3]{128\sqrt{2}}$

Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2.
Преобразуем основание: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$.
Преобразуем аргумент. Сначала выражение под корнем: $128\sqrt{2} = 2^7 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{7+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{15}{2}}$.
Теперь извлечем кубический корень: $\sqrt[3]{128\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2^{\frac{15}{2}}} = (2^{\frac{15}{2}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 2^{\frac{15}{6}} = 2^{\frac{5}{2}}$.
Подставляем преобразованные части в логарифм: $log_{2^{-1/2}} (2^{5/2})$.
Используем свойство $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} log_a b$:
$log_{2^{-1/2}} (2^{5/2}) = \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}} log_2 2 = (\frac{5}{2} \cdot (-\frac{2}{1})) \cdot 1 = -5$.
Ответ: $-5$.