Номер 5.9, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.1. Понятие логарифма - номер 5.9, страница 150.

Условие.

5.9* ИССЛЕДУЕМ Может ли быть рациональным числом; иррациональным числом:

а) рациональная степень рационального числа;

б) иррациональная степень рационального числа;

в) рациональная степень иррационального числа;

г) иррациональная степень иррационального числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) рациональная степень рационального числа

Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Для ответа на этот вопрос нужно привести примеры для обоих случаев.

1. Может ли быть рациональным? Да. Например, возьмем рациональное основание 4 и рациональную степень $1/2$.
$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$. Число 2 является рациональным.

2. Может ли быть иррациональным? Да. Например, возьмем рациональное основание 2 и рациональную степень $1/2$.
$2^{1/2} = \sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.

б) иррациональная степень рационального числа

Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Приведем примеры.

1. Может ли быть рациональным? Да. Рассмотрим число $2^{\log_2 3}$. Основание 2 — рациональное число. Показатель степени $\log_2 3$ является иррациональным числом (доказывается от противного: если бы $\log_2 3 = p/q$, то $2^{p/q}=3$, или $2^p = 3^q$, что невозможно для целых $p, q$, кроме $p=q=0$).
Результат вычисления: $2^{\log_2 3} = 3$. Число 3 является рациональным.

2. Может ли быть иррациональным? Да. Например, рассмотрим число $2^{\sqrt{2}}$. Основание 2 — рациональное, а показатель $\sqrt{2}$ — иррациональное. По теореме Гельфонда-Шнайдера, это число является трансцендентным, а значит, и иррациональным.

Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.

в) рациональная степень иррационального числа

Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Приведем примеры.

1. Может ли быть рациональным? Да. Возьмем иррациональное основание $\sqrt{2}$ и рациональную степень 2.
$(\sqrt{2})^2 = 2$. Число 2 является рациональным.

2. Может ли быть иррациональным? Да. Возьмем иррациональное основание $\sqrt{2}$ и рациональную степень $1/2$.
$(\sqrt{2})^{1/2} = (2^{1/2})^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}$. Число $\sqrt[4]{2}$ является иррациональным.

Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.

г) иррациональная степень иррационального числа

Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Приведем примеры.

1. Может ли быть рациональным? Да. Рассмотрим число $(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$. Мы не знаем, является ли это число рациональным или иррациональным. Разберем два случая:
• Случай 1: Число $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ — рациональное. Тогда мы нашли пример: иррациональное основание $\sqrt{2}$ в иррациональной степени $\sqrt{2}$ дает рациональный результат.
• Случай 2: Число $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ — иррациональное. Тогда возведем это иррациональное число в иррациональную степень $\sqrt{2}$.
$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})} = \sqrt{2}^2 = 2$.
В этом случае мы получили рациональное число 2, возведя иррациональное число $(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})$ в иррациональную степень $\sqrt{2}$.
В любом из двух случаев существует пример, когда иррациональная степень иррационального числа является рациональным числом.

2. Может ли быть иррациональным? Да. Как было показано выше, число $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ (известное как постоянная Гельфонда-Шнайдера) на самом деле является иррациональным (и даже трансцендентным). Это и есть пример иррационального числа, полученного возведением иррационального числа в иррациональную степень.

Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.