Номер 5.9, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
5.1. Понятие логарифма. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.9, страница 150.
№5.9 (с. 150)
Условие. №5.9 (с. 150)
скриншот условия

5.9* ИССЛЕДУЕМ Может ли быть рациональным числом; иррациональным числом:
а) рациональная степень рационального числа;
б) иррациональная степень рационального числа;
в) рациональная степень иррационального числа;
г) иррациональная степень иррационального числа?
Решение 1. №5.9 (с. 150)




Решение 2. №5.9 (с. 150)

Решение 3. №5.9 (с. 150)

Решение 4. №5.9 (с. 150)

Решение 5. №5.9 (с. 150)
а) рациональная степень рационального числа
Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Для ответа на этот вопрос нужно привести примеры для обоих случаев.
1. Может ли быть рациональным? Да. Например, возьмем рациональное основание 4 и рациональную степень $1/2$.
$4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$. Число 2 является рациональным.
2. Может ли быть иррациональным? Да. Например, возьмем рациональное основание 2 и рациональную степень $1/2$.
$2^{1/2} = \sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.
Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.
б) иррациональная степень рационального числа
Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Приведем примеры.
1. Может ли быть рациональным? Да. Рассмотрим число $2^{\log_2 3}$. Основание 2 — рациональное число. Показатель степени $\log_2 3$ является иррациональным числом (доказывается от противного: если бы $\log_2 3 = p/q$, то $2^{p/q}=3$, или $2^p = 3^q$, что невозможно для целых $p, q$, кроме $p=q=0$).
Результат вычисления: $2^{\log_2 3} = 3$. Число 3 является рациональным.
2. Может ли быть иррациональным? Да. Например, рассмотрим число $2^{\sqrt{2}}$. Основание 2 — рациональное, а показатель $\sqrt{2}$ — иррациональное. По теореме Гельфонда-Шнайдера, это число является трансцендентным, а значит, и иррациональным.
Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.
в) рациональная степень иррационального числа
Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Приведем примеры.
1. Может ли быть рациональным? Да. Возьмем иррациональное основание $\sqrt{2}$ и рациональную степень 2.
$(\sqrt{2})^2 = 2$. Число 2 является рациональным.
2. Может ли быть иррациональным? Да. Возьмем иррациональное основание $\sqrt{2}$ и рациональную степень $1/2$.
$(\sqrt{2})^{1/2} = (2^{1/2})^{1/2} = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}$. Число $\sqrt[4]{2}$ является иррациональным.
Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.
г) иррациональная степень иррационального числа
Да, такое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Приведем примеры.
1. Может ли быть рациональным? Да. Рассмотрим число $(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$. Мы не знаем, является ли это число рациональным или иррациональным. Разберем два случая:
• Случай 1: Число $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ — рациональное. Тогда мы нашли пример: иррациональное основание $\sqrt{2}$ в иррациональной степени $\sqrt{2}$ дает рациональный результат.
• Случай 2: Число $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ — иррациональное. Тогда возведем это иррациональное число в иррациональную степень $\sqrt{2}$.
$(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})} = \sqrt{2}^2 = 2$.
В этом случае мы получили рациональное число 2, возведя иррациональное число $(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})$ в иррациональную степень $\sqrt{2}$.
В любом из двух случаев существует пример, когда иррациональная степень иррационального числа является рациональным числом.
2. Может ли быть иррациональным? Да. Как было показано выше, число $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ (известное как постоянная Гельфонда-Шнайдера) на самом деле является иррациональным (и даже трансцендентным). Это и есть пример иррационального числа, полученного возведением иррационального числа в иррациональную степень.
Ответ: да, может быть и рациональным, и иррациональным числом.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 5.9 расположенного на странице 150 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.9 (с. 150), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.