Номер 5.3, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.1. Понятие логарифма. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.3, страница 150.

Вычислите (5.3–5.4):

5.3 а) $ \log_2 4; $ б) $ \log_2 16; $ в) $ \log_3 3; $ г) $ \log_3 27; $ д) $ \log_4 1; $
е) $ \log_5 \frac{1}{5}; $ ж) $ \log_{10} 100; $ з) $ \log_5 5^3; $ и) $ \log_7 7^5. $

а) Логарифм $\log_2 4$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 4. Так как $2^2 = 4$, то искомый показатель степени равен 2. Можно также представить 4 как степень 2 и использовать свойство логарифма $\log_a a^p = p$: $\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$. Ответ: 2

б) Логарифм $\log_2 16$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число 16. Представим 16 как степень двойки: $16 = 2^4$. Используя свойство $\log_a a^p = p$, получаем: $\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$. Ответ: 4

в) Логарифм $\log_3 3$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 3. Так как $3^1 = 3$, искомый показатель равен 1. Это также следует из свойства логарифма $\log_a a = 1$. $\log_3 3 = 1$. Ответ: 1

г) Логарифм $\log_3 27$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 27. Представим 27 как степень тройки: $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$. Следовательно: $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$. Ответ: 3

д) Логарифм $\log_4 1$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 4, чтобы получить число 1. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, то есть $4^0 = 1$. Это также следует из свойства логарифма $\log_a 1 = 0$ (для $a>0, a \neq 1$). $\log_4 1 = 0$. Ответ: 0

е) Логарифм $\log_5 \frac{1}{5}$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 5, чтобы получить число $\frac{1}{5}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем записать $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Следовательно: $\log_5 \frac{1}{5} = \log_5 5^{-1} = -1$. Ответ: -1

ж) Логарифм $\log_{10} 100$ (десятичный логарифм) — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 10, чтобы получить число 100. Так как $100 = 10^2$, то: $\log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2$. Ответ: 2

з) Для вычисления $\log_5 5^3$ используем основное свойство логарифма: $\log_a a^p = p$. В данном случае основание логарифма $a=5$ совпадает с основанием степени под знаком логарифма, а показатель степени $p=3$. Таким образом: $\log_5 5^3 = 3$. Ответ: 3

и) Аналогично предыдущему пункту, для вычисления $\log_7 7^5$ используем свойство $\log_a a^p = p$. Здесь основание $a=7$ и показатель степени $p=5$. Таким образом: $\log_7 7^5 = 5$. Ответ: 5