Номер 5.8, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.1. Понятие логарифма - номер 5.8, страница 150.

Условие.

5.8 a) $\log_2 2^3$;

б) $\log_5 5^7$;

в) $\log_9 9^{1999}$;

г) $2^{\log_2 5}$;

д) $3^{\log_3 90}$;

е) $5^{\log_5 \frac{1}{2}}$;

ж) $e^{\ln 3}$;

з) $e^{2 \ln 5}$;

и) $e^{-2 \ln 3}$;

к) $10^{\lg 3}$;

л) $10^{2 \lg 3}$;

м) $10^{-3 \lg 2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для решения используем свойство логарифма $\log_a a^b = b$. В данном случае основание логарифма и основание степени внутри логарифма совпадают (равны 2).
$\log_2 2^3 = 3$
Ответ: 3

б) Аналогично пункту а), используем свойство $\log_a a^b = b$.
$\log_5 5^7 = 7$
Ответ: 7

в) Используем то же свойство логарифма $\log_a a^b = b$.
$\log_9 9^{1999} = 1999$
Ответ: 1999

г) Для решения используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.
$2^{\log_2 5} = 5$
Ответ: 5

д) Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$3^{\log_3 90} = 90$
Ответ: 90

е) Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$5^{\log_5 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

ж) Натуральный логарифм $\ln$ — это логарифм по основанию $e$. Таким образом, $\ln 3 = \log_e 3$. Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$e^{\ln 3} = e^{\log_e 3} = 3$
Ответ: 3

з) Сначала используем свойство степени логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, а затем основное логарифмическое тождество.
$e^{2 \ln 5} = e^{\ln 5^2} = e^{\ln 25}$
Теперь, как и в пункте ж), $e^{\ln 25} = 25$.
Ответ: 25

и) Используем те же свойства, что и в пункте з).
$e^{-2 \ln 3} = e^{\ln 3^{-2}} = e^{\ln \frac{1}{3^2}} = e^{\ln \frac{1}{9}}$
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем: $e^{\ln \frac{1}{9}} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$

к) Десятичный логарифм $\lg$ — это логарифм по основанию 10. Таким образом, $\lg 3 = \log_{10} 3$. Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$10^{\lg 3} = 10^{\log_{10} 3} = 3$
Ответ: 3

л) Сначала используем свойство $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, а затем основное логарифмическое тождество.
$10^{2 \lg 3} = 10^{\lg 3^2} = 10^{\lg 9}$
Теперь, как и в пункте к), $10^{\lg 9} = 9$.
Ответ: 9

м) Используем те же свойства, что и в пункте л).
$10^{-3 \lg 2} = 10^{\lg 2^{-3}} = 10^{\lg \frac{1}{2^3}} = 10^{\lg \frac{1}{8}}$
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем: $10^{\lg \frac{1}{8}} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$