Номер 5.4, страница 150 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.1. Понятие логарифма - номер 5.4, страница 150.

Условие.

5.4 a) $2^{\log_2 3};$

б) $3^{\log_3 5};$

в) $7^{\log_7 9};$

г) $2^{\log_2 3 + \log_2 5};$

д) $(3^{\log_3 7})^2;$

е) $(3^2)^{\log_3 7};$

ж) $7^{2 \log_7 3};$

з) $10^{3 \log_{10} 5};$

и) $0,1^{2 \log_{0,1} 10}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Выражение $2^{\log_2 3}$ вычисляется с использованием основного логарифмического тождества: $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание степени $a=2$ совпадает с основанием логарифма, а подлогарифмическое выражение $b=3$.
$2^{\log_2 3} = 3$.
Ответ: 3

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Здесь $a=3$ и $b=5$.
$3^{\log_3 5} = 5$.
Ответ: 5

в) Снова используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Здесь $a=7$ и $b=9$.
$7^{\log_7 9} = 9$.
Ответ: 9

г) Выражение $2^{\log_2 3 + \log_2 5}$. Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$.
$\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 (3 \cdot 5) = \log_2 15$.
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
$2^{\log_2 15}$.
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$2^{\log_2 15} = 15$.
Ответ: 15

д) В выражении $(3^{\log_3 7})^2$ сначала упростим то, что в скобках, используя основное логарифмическое тождество:
$3^{\log_3 7} = 7$.
Теперь возведем результат в квадрат:
$7^2 = 49$.
Ответ: 49

е) Для выражения $(3^2)^{\log_3 7}$ воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3^2)^{\log_3 7} = 3^{2 \cdot \log_3 7}$.
Теперь используем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$, чтобы внести множитель 2 в показатель подлогарифмического выражения:
$3^{2 \log_3 7} = 3^{\log_3 (7^2)} = 3^{\log_3 49}$.
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$3^{\log_3 49} = 49$.
Ответ: 49

ж) В выражении $7^{2 \log_7 3}$ преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$2 \log_7 3 = \log_7 (3^2) = \log_7 9$.
Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$7^{\log_7 9}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$7^{\log_7 9} = 9$.
Ответ: 9

з) В выражении $10^{3 \log_{10} 5}$ преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$3 \log_{10} 5 = \log_{10} (5^3) = \log_{10} 125$.
Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$10^{\log_{10} 125}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$10^{\log_{10} 125} = 125$.
Ответ: 125

и) В выражении $0,1^{2 \log_{0,1} 10}$ преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$2 \log_{0,1} 10 = \log_{0,1} (10^2) = \log_{0,1} 100$.
Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$0,1^{\log_{0,1} 100}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$0,1^{\log_{0,1} 100} = 100$.
Ответ: 100