Номер 4.58, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.8. Показательная функция. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.58, страница 147.

4.58 В одной системе координат постройте графики функций $y = 3^x$ и $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Каким свойством обладают графики этих функций?

Задача состоит из двух частей: построение графиков функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ и определение свойства, связывающего эти графики.

Построение графиков

Для построения графиков обеих показательных функций составим таблицы значений, выбрав несколько удобных значений аргумента $x$.

1. Для функции $y = 3^x$. Это показательная функция с основанием $a = 3$, которое больше 1, следовательно, функция является возрастающей.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y = 3^x$	$3^{-2} = \frac{1}{9}$	$3^{-1} = \frac{1}{3}$	$3^0 = 1$	$3^1 = 3$	$3^2 = 9$

2. Для функции $y = (\frac{1}{3})^x$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$, которое находится в интервале $(0, 1)$, следовательно, функция является убывающей.

$x$	-2	-1	0	1	2
$y = (\frac{1}{3})^x$	$(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$	$(\frac{1}{3})^{-1} = 3^1 = 3$	$(\frac{1}{3})^0 = 1$	$(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$	$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Нанеся точки из таблиц на координатную плоскость и соединив их плавными кривыми, мы получим графики обеих функций. Оба графика проходят через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближаются к оси абсцисс ($Ox$).

Свойство графиков

Рассмотрим взаимосвязь между двумя функциями. Преобразуем уравнение второй функции, используя свойство степеней $(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$:

$y = \left(\frac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$

Пусть первая функция $f(x) = 3^x$, а вторая функция $g(x) = (\frac{1}{3})^x$. Мы показали, что $g(x) = 3^{-x} = f(-x)$.

Равенство $g(x) = f(-x)$ означает, что значение функции $g$ в любой точке $x$ равно значению функции $f$ в точке $-x$. Геометрически это соответствует отражению графика функции $f(x)$ относительно оси ординат ($Oy$).

Таким образом, если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = 3^x$, то $y_0 = 3^{x_0}$. Для графика $y = (\frac{1}{3})^x$ в точке $x = -x_0$ имеем $y = (\frac{1}{3})^{-x_0} = 3^{x_0} = y_0$. Это означает, что точка $(-x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = (\frac{1}{3})^x$.

Точки $(x_0, y_0)$ и $(-x_0, y_0)$ симметричны относительно оси $Oy$. Так как это верно для любой точки графика, то и сами графики симметричны.

Ответ: Графики функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ симметричны относительно оси ординат ($Oy$).