Номер 4.57, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.8. Показательная функция. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.57, страница 147.

4.57 В одной системе координат постройте графики функций $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ и $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$. При каких значениях x точки первого графика расположены выше (ниже) соответствующих точек второго графика?

Для решения этой задачи мы сначала построим графики обеих функций в одной системе координат, а затем аналитически найдем значения $x$, при которых один график расположен выше или ниже другого.

Построение графиков функций

Рассмотрим две функции: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ (назовем ее первой функцией) и $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ (вторая функция). Обе функции являются показательными с основанием $a$, где $0 < a < 1$. Это означает, что обе функции убывающие.

Найдем несколько ключевых точек для построения графиков:

Для функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$:

• При $x = -2$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
• При $x = -1$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
• При $x = 0$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 1$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 0.5$. Точка $(1, 0.5)$.
• При $x = 2$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0.25$. Точка $(2, 0.25)$.

Для функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$:

• При $x = -2$, $y = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16$. Точка $(-2, 16)$.
• При $x = -1$, $y = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4^1 = 4$. Точка $(-1, 4)$.
• При $x = 0$, $y = \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 1$, $y = \left(\frac{1}{4}\right)^1 = 0.25$. Точка $(1, 0.25)$.
• При $x = 2$, $y = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 0.0625$. Точка $(2, 0.0625)$.

Оба графика проходят через точку $(0, 1)$, так как любое число в нулевой степени равно единице. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при $x \to +\infty$. Соединив точки, мы получим два убывающих графика, пересекающихся в точке $(0, 1)$.

Аналитическое решение

Теперь найдем, при каких значениях $x$ точки одного графика лежат выше или ниже другого. Для этого решим соответствующие неравенства.

Точки первого графика расположены выше соответствующих точек второго графика

Это условие означает, что значение функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ должно быть больше значения функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ при одинаковых $x$. Запишем неравенство:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{4}\right)^x$

Приведем правую часть к основанию $\frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$, неравенство принимает вид:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^x$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), при переходе к сравнению показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2x$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$0 < x$

Следовательно, точки первого графика расположены выше точек второго при $x > 0$.

Ответ: $x > 0$ или $x \in (0; +\infty)$.

Точки первого графика расположены ниже соответствующих точек второго графика

Это условие означает, что значение функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ должно быть меньше значения функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ при одинаковых $x$. Запишем неравенство:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{4}\right)^x$

Проводя аналогичные преобразования:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ меньше 1, при переходе к сравнению показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 2x$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$0 > x$

Следовательно, точки первого графика расположены ниже точек второго при $x < 0$.

Ответ: $x < 0$ или $x \in (-\infty; 0)$.