Номер 4.59, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.8. Показательная функция. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.59, страница 147.

4.59 Определите графическим способом, сколько корней имеет уравнение $2^x = x^2$.

Чтобы определить количество корней уравнения $2^x = x^2$ графическим способом, нужно построить в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = x^2$. Количество точек пересечения этих графиков будет соответствовать количеству корней данного уравнения.

1. Построение графика функции $y = 2^x$

Это показательная функция. Ее основные свойства:

• Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Область значений — все положительные числа ($y > 0$).
• График проходит через точку $(0, 1)$, так как $2^0 = 1$.
• Функция монотонно возрастает.
• При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (ось OX — горизонтальная асимптота).

Вычислим несколько точек для построения:

• $x = -1, y = 2^{-1} = 0.5$
• $x = 1, y = 2^1 = 2$
• $x = 2, y = 2^2 = 4$
• $x = 4, y = 2^4 = 16$

2. Построение графика функции $y = x^2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ее основные свойства:

• Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Область значений — все неотрицательные числа ($y \ge 0$).
• Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
• График симметричен относительно оси OY.

Вычислим несколько точек для построения:

• $x = -1, y = (-1)^2 = 1$
• $x = 1, y = 1^2 = 1$
• $x = 2, y = 2^2 = 4$
• $x = 4, y = 4^2 = 16$

3. Анализ пересечения графиков

Совместим оба графика на одной координатной плоскости и проанализируем их взаимное расположение.

Сразу можно заметить два очевидных решения путем подстановки целых чисел:

• При $x=2$: $2^2 = 4$ и $x^2 = 2^2 = 4$. Точка пересечения $(2, 4)$.
• При $x=4$: $2^4 = 16$ и $x^2 = 4^2 = 16$. Точка пересечения $(4, 16)$.

Таким образом, у нас есть как минимум два корня. Теперь исследуем другие участки:

• При $x > 4$: Показательная функция $y=2^x$ растет быстрее, чем квадратичная $y=x^2$. Их графики больше не пересекутся. Например, при $x=5$ имеем $2^5=32$, а $5^2=25$.
• Между $x=2$ и $x=4$: При $x=3$ имеем $2^3=8$, а $3^2=9$. В этой области график параболы $y=x^2$ проходит выше графика $y=2^x$.
• Между $x=0$ и $x=2$: При $x=1$ имеем $2^1=2$, а $1^2=1$. В этой области график $y=2^x$ проходит выше графика $y=x^2$.
• При $x \le 0$: Рассмотрим поведение функций при отрицательных $x$ и в нуле. При $x=0$, $2^0=1$, а $0^2=0$. То есть, $2^x > x^2$. При $x=-1$, $2^{-1}=0.5$, а $(-1)^2=1$. То есть, $2^x < x^2$. Поскольку обе функции непрерывны, и на отрезке $[-1, 0]$ разность $2^x - x^2$ меняет знак, то по теореме о промежуточном значении на интервале $(-1, 0)$ должен существовать корень. Это и есть третья точка пересечения графиков.

Итак, графический анализ показывает, что графики функций $y = 2^x$ и $y = x^2$ пересекаются в трех точках.

Ответ: 3.