Номер 4.60, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.8. Показательная функция. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.60, страница 147.

Постройте график функции (4.60—4.61):

4.60 a) $y = 2^x$;

б) $y = 2^{-x}$;

в) $y = 2^{|x|}$;

г) $y = 2^{x+3}$;

д) $y = 2^{-x+3}$;

е) $y = 2^{|x|+3}$;

ж) $y = 2^x - 1$;

з) $y = |2^x - 1|$;

и) $y = |2^{x-1} - 2|$.

а) $y = 2^x$

Это основная показательная функция с основанием $a=2$, где $a > 1$.

Свойства и построение:

• Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений — все положительные действительные числа: $E(y) = (0, +\infty)$.
• Функция является возрастающей на всей области определения, так как основание $2 > 1$.
• График проходит через точку $(0, 1)$, так как $2^0 = 1$.
• Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

• при $x = -2$, $y = 2^{-2} = 1/4$;
• при $x = -1$, $y = 2^{-1} = 1/2$;
• при $x = 0$, $y = 2^0 = 1$;
• при $x = 1$, $y = 2^1 = 2$;
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$.

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции. Он представляет собой кривую, которая быстро растет при $x > 0$ и приближается к оси $Ox$ при $x < 0$.

Ответ: График показательной функции $y = 2^x$, проходящий через точку $(0, 1)$, возрастающий на всей числовой оси и имеющий горизонтальную асимптоту $y=0$.

б) $y = 2^{-x}$

Функцию можно представить в виде $y = (1/2)^x$. Это показательная функция с основанием $a=1/2$, где $0 < a < 1$.

Построение через преобразование: График функции $y = 2^{-x}$ можно получить из графика функции $y = 2^x$ (из пункта а)) путем симметричного отражения относительно оси $Oy$. Это происходит потому, что аргумент $x$ заменяется на $-x$.

Свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0, +\infty)$.
• Функция является убывающей на всей области определения.
• График также проходит через точку $(0, 1)$, так как $2^{-0} = 1$.
• Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.

Ключевые точки: $(-2, 4)$, $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$, $(2, 1/4)$.

Ответ: График функции $y = 2^x$, отраженный симметрично относительно оси $Oy$. Это убывающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ с горизонтальной асимптотой $y=0$.

в) $y = 2^{|x|}$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Построение по определению модуля: Раскроем модуль: $y = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2^{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это означает, что:

• При $x \ge 0$ (в правой полуплоскости) график совпадает с графиком функции $y = 2^x$ (из пункта а)).
• При $x < 0$ (в левой полуплоскости) график совпадает с графиком функции $y = 2^{-x}$ (из пункта б)).

Построение через преобразование: Чтобы построить график функции $y=f(|x|)$, нужно взять часть графика $y=f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить ее симметрично относительно оси $Oy$. В нашем случае мы берем часть графика $y=2^x$ при $x \ge 0$ и отражаем ее влево.

График проходит через точку $(0,1)$ и "ломается" в ней: справа от оси $Oy$ он возрастает, а слева — убывает.

Ответ: График, состоящий из двух ветвей, симметричных относительно оси $Oy$. Правая ветвь совпадает с графиком $y=2^x$ при $x \ge 0$, левая ветвь совпадает с графиком $y=2^{-x}$ при $x < 0$. Минимальное значение достигается в точке $(0,1)$.

г) $y = 2^{x+3}$

Построение через преобразование: График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = 2^x$ (пункт а)) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$. Поскольку к аргументу $x$ прибавляется 3, сдвиг происходит на 3 единицы влево.

Построение: Берем график $y=2^x$ и сдвигаем его целиком на 3 единицы влево.

• Точка $(0, 1)$ на исходном графике переместится в точку $(-3, 1)$.
• Точка $(1, 2)$ переместится в точку $(-2, 2)$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений.

Функция по-прежнему является возрастающей.

Ответ: График функции $y=2^x$, сдвинутый на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

д) $y = 2^{-x+3}$

Преобразуем выражение: $y = 2^{-(x-3)}$.

Построение через преобразование: График этой функции можно получить из графика функции $y = 2^{-x}$ (пункт б)) с помощью параллельного переноса на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Построение: Берем график $y=2^{-x}$ и сдвигаем его целиком на 3 единицы вправо.

• Точка $(0, 1)$ на исходном графике переместится в точку $(3, 1)$.
• Точка $(-1, 2)$ переместится в точку $(2, 2)$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений.

Функция является убывающей.

Ответ: График функции $y=2^{-x}$, сдвинутый на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

е) $y = 2^{|x|+3}$

Эта функция является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Построение через преобразование: Для построения графика $y=g(|x|)$, где $g(x) = 2^{x+3}$, можно использовать следующее правило: 1. Строим график функции $y=g(x)=2^{x+3}$ (это график из пункта г)). 2. Оставляем ту часть графика, которая находится при $x \ge 0$. 3. Отражаем эту часть симметрично относительно оси $Oy$ на левую полуплоскость.

Пошаговое построение:

• При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция имеет вид $y = 2^{x+3}$. Это возрастающая кривая, часть графика из пункта г). В точке $x=0$ имеем $y=2^3=8$.
• При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция имеет вид $y = 2^{-x+3}$. Это убывающая кривая, часть графика из пункта д).

График состоит из двух ветвей, встречающихся в точке $(0, 8)$. Правая ветвь — это часть графика $y=2^{x+3}$, левая — часть графика $y=2^{-x+3}$.

Ответ: График, симметричный относительно оси $Oy$, с точкой минимума в $(0, 8)$. Правая ветвь — это график $y=2^{x+3}$ для $x \ge 0$, а левая — его зеркальное отражение.

ж) $y = 2^x - 1$

Построение через преобразование: График этой функции получается из графика $y = 2^x$ (пункт а)) путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

Построение: Берем график $y=2^x$ и сдвигаем его целиком на 1 единицу вниз.

• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается вниз и становится прямой $y=-1$.
• Точка $(0, 1)$ смещается в точку $(0, 0)$. График проходит через начало координат.
• Точка $(1, 2)$ смещается в точку $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y=2^x$, сдвинутый на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Новая горизонтальная асимптота — $y=-1$.

з) $y = |2^x - 1|$

Построение через преобразование: Для построения графика функции $y=|f(x)|$ нужно сначала построить график $y=f(x)$, а затем часть графика, лежащую ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно оси $Ox$.

Пошаговое построение:

1. Строим график функции $y = 2^x - 1$ (из пункта ж)).
2. Определяем, где $y < 0$: $2^x - 1 < 0 \implies 2^x < 1 \implies x < 0$.
3. Часть графика при $x \ge 0$ остается без изменений. Эта часть начинается в точке $(0, 0)$ и возрастает.
4. Часть графика при $x < 0$, которая находится под осью $Ox$, отражаем симметрично относительно оси $Ox$.
   • Горизонтальная асимптота $y=-1$ для этой части графика превращается в асимптоту $y=1$ (при $x \to -\infty$).
   • Например, точка $(-1, -1/2)$ на графике $y=2^x-1$ становится точкой $(-1, 1/2)$.

Итоговый график состоит из двух частей: $y = 2^x-1$ при $x \ge 0$ и $y = -(2^x-1) = 1-2^x$ при $x < 0$.

Ответ: График функции $y=2^x-1$, у которого часть, лежащая ниже оси абсцисс (при $x<0$), отражена симметрично относительно этой оси. Горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$ — прямая $y=1$.

и) $y = |2^{x-1} - 2|$

Построение этого графика выполним в несколько шагов, используя последовательные преобразования.

Пошаговое построение:

1. Базовый график: $y = 2^x$ (пункт а)).
2. Сдвиг вправо: Строим $y = 2^{x-1}$. Это график $y = 2^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Он проходит через точку $(1, 1)$, асимптота $y=0$.
3. Сдвиг вниз: Строим $y = 2^{x-1} - 2$. Это график из шага 2, сдвинутый на 2 единицы вниз.
   • Асимптота становится $y=-2$.
   • Точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -1)$.
   • График пересекает ось $Ox$ в точке, где $2^{x-1}-2=0 \implies 2^{x-1}=2 \implies x-1=1 \implies x=2$. Точка пересечения — $(2, 0)$.
   • График пересекает ось $Oy$ в точке $x=0$, $y=2^{-1}-2 = 0.5-2 = -1.5$. Точка пересечения — $(0, -1.5)$.
4. Модуль: Строим $y = |2^{x-1} - 2|$. Берем график из шага 3 и отражаем его часть, лежащую ниже оси $Ox$, относительно этой оси.
   • Часть графика, где $y < 0$ (то есть при $x < 2$), отражается вверх.
   • Часть графика, где $y \ge 0$ (то есть при $x \ge 2$), остается на месте.

Итоговый график:

• При $x \ge 2$, график совпадает с $y = 2^{x-1} - 2$. Он начинается в точке $(2, 0)$ и возрастает.
• При $x < 2$, график является отражением, то есть $y = -(2^{x-1} - 2) = 2 - 2^{x-1}$.
  • Горизонтальная асимптота $y=-2$ отражается в асимптоту $y=2$ (при $x \to -\infty$).
  • Точка $(1, -1)$ становится точкой $(1, 1)$.
  • Точка $(0, -1.5)$ становится точкой $(0, 1.5)$.

Ответ: График, полученный из $y=2^{x-1}-2$ отражением его отрицательной части ($x<2$) относительно оси $Ox$. График "ломается" в точке $(2,0)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$.