Номер 4.56, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.8. Показательная функция. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.56, страница 147.

4.56 В одной системе координат постройте графики функций $y = 2^x$ и $y = 4^x$. При каких значениях $x$ точки первого графика расположены выше (ниже) соответствующих точек второго графика?

Построение графиков функций $y = 2^x$ и $y = 4^x$

Для построения графиков показательных функций $y = 2^x$ и $y = 4^x$ найдем несколько контрольных точек для каждой из них. Обе функции являются возрастающими, так как их основания (2 и 4) больше 1.

Контрольные точки для графика $y = 2^x$:

• Если $x = -2$, то $y = 2^{-2} = \frac{1}{4}$. Точка $(-2, \frac{1}{4})$.
• Если $x = -1$, то $y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Точка $(-1, \frac{1}{2})$.
• Если $x = 0$, то $y = 2^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2^1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Контрольные точки для графика $y = 4^x$:

• Если $x = -2$, то $y = 4^{-2} = \frac{1}{16}$. Точка $(-2, \frac{1}{16})$.
• Если $x = -1$, то $y = 4^{-1} = \frac{1}{4}$. Точка $(-1, \frac{1}{4})$.
• Если $x = 0$, то $y = 4^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 4^1 = 4$. Точка $(1, 4)$.
• Если $x = 2$, то $y = 4^2 = 16$. Точка $(2, 16)$.

Оба графика проходят через точку $(0, 1)$, где они пересекаются. При $x > 0$ график $y=4^x$ растет быстрее и находится выше графика $y=2^x$. При $x < 0$ график $y=2^x$ находится выше графика $y=4^x$.

При каких значениях x точки первого графика расположены выше соответствующих точек второго графика?

Чтобы найти, при каких значениях $x$ точки графика функции $y=2^x$ расположены выше точек графика функции $y=4^x$, необходимо решить неравенство:

$2^x > 4^x$

Представим $4^x$ как степень с основанием 2:

$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

Теперь неравенство имеет вид:

$2^x > 2^{2x}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=a^t$ при $a>1$ является возрастающей. Это значит, что для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$x > 2x$

Решим это линейное неравенство:

$x - 2x > 0$

$-x > 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < 0$

Ответ: при $x < 0$ или $x \in (-\infty; 0)$.

При каких значениях x точки первого графика расположены ниже соответствующих точек второго графика?

Чтобы найти, при каких значениях $x$ точки графика функции $y=2^x$ расположены ниже точек графика функции $y=4^x$, необходимо решить неравенство:

$2^x < 4^x$

Используя преобразование $4^x = 2^{2x}$, получаем:

$2^x < 2^{2x}$

Так как основание степени $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x < 2x$

Решим это неравенство:

$0 < 2x - x$

$0 < x$

Таким образом, $x > 0$.

Ответ: при $x > 0$ или $x \in (0; +\infty)$.