Номер 4.49, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.7. Понятие степени с иррациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.49, страница 143.

4.49 Между какими двумя соседними натуральными числами заключено число $2^{\\sqrt{2}}$?

Для того чтобы найти, между какими двумя соседними натуральными числами находится число $2^{\sqrt{2}}$, необходимо оценить его значение.

1. Сначала определим грубые границы для показателя степени, то есть для $\sqrt{2}$. Известно, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, поэтому можно записать неравенство:

$1 < \sqrt{2} < 2$

2. Поскольку показательная функция $y = 2^x$ является возрастающей (при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается), мы можем применить это свойство к нашему неравенству:

$2^1 < 2^{\sqrt{2}} < 2^2$

Вычислив значения по краям, получаем:

$2 < 2^{\sqrt{2}} < 4$

Из этого неравенства следует, что число $2^{\sqrt{2}}$ больше 2, но меньше 4. Это означает, что оно может находиться либо между 2 и 3, либо между 3 и 4. Чтобы уточнить, необходимо сравнить $2^{\sqrt{2}}$ с числом 3.

3. Для сравнения чисел $2^{\sqrt{2}}$ и 3, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительны, знак неравенства между ними будет таким же, как и между их квадратами.

$(2^{\sqrt{2}})^2 = 2^{2\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{4 \cdot 2}} = 2^{\sqrt{8}}$

$3^2 = 9$

4. Теперь задача сводится к сравнению чисел $2^{\sqrt{8}}$ и 9. Сравним показатель степени $\sqrt{8}$ с целым числом. Мы знаем, что $8 < 9$, следовательно, $\sqrt{8} < \sqrt{9}$, что дает нам $\sqrt{8} < 3$.

5. Снова используя свойство возрастания функции $y=2^x$, из неравенства $\sqrt{8} < 3$ получаем:

$2^{\sqrt{8}} < 2^3$

Так как $2^3 = 8$, то $2^{\sqrt{8}} < 8$.

Поскольку $8 < 9$, то тем более $2^{\sqrt{8}} < 9$.

6. Итак, мы показали, что $(2^{\sqrt{2}})^2 < 3^2$. Отсюда следует, что $2^{\sqrt{2}} < 3$.

7. Объединяя полученные результаты ($2 < 2^{\sqrt{2}}$ из пункта 2 и $2^{\sqrt{2}} < 3$ из пункта 6), получаем итоговое двойное неравенство:

$2 < 2^{\sqrt{2}} < 3$

Это означает, что число $2^{\sqrt{2}}$ находится между соседними натуральными числами 2 и 3.

Ответ: число $2^{\sqrt{2}}$ заключено между 2 и 3.