Номер 4.48, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.6. Число е. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.48, страница 142.

4.48* Представим себе, что некоторый банк платит по вкладам 100% годовых независимо от срока хранения вклада — за 1 год 100%, за $\frac{1}{2}$ года 50%, за $\frac{1}{3}$ года $\frac{100\%}{3}$, за $\frac{1}{4}$ года 25% и т. д. Составьте формулу, по которой можно найти число, показывающее, во сколько раз увеличилась вложенная сумма к концу года, если проводилось $n - 1$ перевложение суммы на $\frac{1}{n}$ часть года. К чему стремится это число при $n \rightarrow +\infty$?

Составьте формулу, по которой можно найти число, показывающее, во сколько раз увеличилась вложенная сумма к концу года, если проводилось n – 1 перевложение суммы на 1/n часть года.

Это классическая задача на сложные проценты с капитализацией.

Пусть начальная сумма вклада равна $S_0$. Годовая процентная ставка составляет $100\%$, что в десятичных долях равно $1$.

Согласно условию, год делится на $n$ равных периодов. Длительность каждого периода составляет $\frac{1}{n}$ года. Поскольку процентная ставка пропорциональна сроку хранения, ставка за один такой период составит $100\% \cdot \frac{1}{n} = \frac{100}{n}\%$, что в долях равно $\frac{1}{n}$.

Начисление процентов происходит с капитализацией, то есть проценты, начисленные за один период, добавляются к основной сумме, и в следующем периоде проценты начисляются уже на новую, увеличенную сумму.

Если в начале периода на счете была сумма $S$, то в конце периода она станет $S \cdot (1 + \frac{1}{n})$.

Процесс повторяется $n$ раз в течение года (начальное вложение и $n-1$ последующих перевложений). Рассчитаем итоговую сумму $S_n$ к концу года:

• После 1-го периода: $S_1 = S_0 \left(1 + \frac{1}{n}\right)$
• После 2-го периода: $S_2 = S_1 \left(1 + \frac{1}{n}\right) = S_0 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$
• ...
• После n-го периода: $S_n = S_0 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась вложенная сумма, нужно найти отношение конечной суммы $S_n$ к начальной $S_0$. Обозначим это число как $K(n)$.

$K(n) = \frac{S_n}{S_0} = \frac{S_0 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{S_0} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.

Это и есть искомая формула.

Ответ: Формула, показывающая, во сколько раз увеличилась вложенная сумма, имеет вид: $K(n) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.

К чему стремится это число при n → +∞?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо найти предел полученного выражения при $n$, стремящемся к бесконечности. Этот процесс в финансах называется непрерывным начислением процентов.

$\lim_{n \to \infty} K(n) = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.

Данный предел является одним из фундаментальных пределов в математическом анализе и известен как второй замечательный предел. Его значением является иррациональное число $e$ (число Эйлера).

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$.

Число $e$ приблизительно равно $2.71828$.

Таким образом, при бесконечно частом перевложении вклада в течение года (когда $n \to \infty$), первоначальная сумма увеличится не до бесконечности, а будет стремиться к увеличению в $e$ раз.

Ответ: Это число стремится к числу $e$ (числу Эйлера).