Страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.45° Сформулируйте теорему о существовании предела:

а) ограниченной сверху неубывающей последовательности;

б) ограниченной снизу невозрастающей последовательности.

а) ограниченной сверху неубывающей последовательности;

Эта теорема, известная как теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности, устанавливает условия, при которых монотонная последовательность имеет конечный предел.

Рассмотрим числовую последовательность $\{x_n\}$.
Последовательность называется неубывающей, если каждый её последующий член не меньше предыдущего, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} \ge x_n$.
Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что все члены последовательности не превосходят его, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_n \le M$.

Теорема утверждает, что если последовательность одновременно удовлетворяет этим двум условиям (монотонно не убывает и ограничена сверху), то она сходится. Предел такой последовательности равен её точной верхней грани (супремуму) — наименьшему из всех чисел, которые ограничивают последовательность сверху.

Ответ: Всякая неубывающая и ограниченная сверху числовая последовательность имеет конечный предел, равный её точной верхней грани (супремуму).

б) ограниченной снизу невозрастающей последовательности.

Это вторая часть той же теоремы Вейерштрасса, рассматривающая другой случай монотонной последовательности.

Рассмотрим числовую последовательность $\{y_n\}$.
Последовательность называется невозрастающей, если каждый её последующий член не больше предыдущего, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} \le y_n$.
Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что все члены последовательности не меньше него, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_n \ge m$.

Теорема для этого случая утверждает, что если последовательность монотонно не возрастает и ограничена снизу, она также сходится. Предел такой последовательности равен её точной нижней грани (инфимуму) — наибольшему из всех чисел, которые ограничивают последовательность снизу.

Ответ: Всякая невозрастающая и ограниченная снизу числовая последовательность имеет конечный предел, равный её точной нижней грани (инфимуму).

4.46° Что такое число $e$?

Число e, также известное как число Эйлера, — это фундаментальная математическая константа, которая играет ключевую роль в математическом анализе, теории вероятностей, физике и многих других областях науки. Наряду с числами $0$, $1$ и $\pi$, число $e$ является одним из самых важных чисел в математике.

Число $e$ является иррациональным (его нельзя представить в виде дроби двух целых чисел) и трансцендентным (не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами). Его приблизительное значение с точностью до 15 знаков после запятой:

$e \approx 2.718281828459045...$

Существует несколько эквивалентных способов определить число $e$.

Определение через предел (Второй замечательный предел)

Этот способ определения исторически связан с задачей о сложном проценте. Представим себе банк, который начисляет 100% годовых. Если положить 1 денежную единицу на счет, то через год сумма станет равной $1 + 1 = 2$.

Теперь представим, что банк начисляет проценты чаще, например, два раза в год по 50%. Тогда через год сумма будет $(1 + \frac{1}{2})^2 = 2.25$.

Если начислять проценты $n$ раз в год (каждый раз по $\frac{100}{n}$%), то итоговая сумма через год будет выражаться формулой $(1 + \frac{1}{n})^n$.

Число $e$ — это предел, к которому стремится эта сумма при бесконечном увеличении частоты начисления процентов ($n \to \infty$), то есть при непрерывном начислении.

Формально это записывается так:

$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

Это выражение известно как второй замечательный предел.

Определение через бесконечный ряд

Число $e$ можно также определить как сумму бесконечного ряда, где слагаемые являются обратными величинами факториалов целых неотрицательных чисел:

$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots$

Поскольку по определению $0! = 1$, ряд выглядит так:

$e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots$

Этот ряд сходится очень быстро, что делает его удобным для вычисления приближенного значения $e$.

Свойства и значение числа e

Уникальность числа $e$ проявляется в его свойствах, особенно в математическом анализе.

1. Основание натурального логарифма. Число $e$ является основанием натурального логарифма ($\ln x$). Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$. То есть, $\ln(e) = 1$. Геометрически это означает, что площадь под кривой $y = 1/x$ от $x=1$ до $x=e$ в точности равна 1.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = 1$

2. Производная показательной функции. Показательная функция $f(x) = e^x$ обладает уникальным свойством: она равна своей производной.

$\frac{d}{dx}e^x = e^x$

Это означает, что скорость роста функции $e^x$ в любой точке равна значению самой функции в этой точке. Никакая другая показательная функция $a^x$ (где $a \ne e$) не обладает таким свойством. Это делает $e$ "естественным" основанием для описания процессов экспоненциального роста и затухания (например, рост популяции, радиоактивный распад, сложные проценты).

3. Тождество Эйлера. Число $e$ входит в знаменитое тождество Эйлера, которое связывает пять важнейших математических констант:

$e^{i\pi} + 1 = 0$

Это тождество считается одним из самых красивых в математике.

Ответ: Число $e$ — это иррациональная и трансцендентная математическая константа, приблизительно равная $2.71828$. Оно определяется как предел последовательности $(1 + 1/n)^n$ при $n$, стремящемся к бесконечности, или как сумма бесконечного ряда $1/0! + 1/1! + 1/2! + \dots$. Число $e$ является основанием натурального логарифма и играет центральную роль в математическом анализе, так как показательная функция $e^x$ равна своей собственной производной.

4.47 Имеет ли предел переменная $x_n$, если:

а) $x_n = \frac{n}{n+2}$;

б) $x_n = \frac{2n}{n+2}$;

в) $x_n = \frac{3n+1}{n}$;

г) $x_n = \frac{4n-2}{n}$;

д) $x_n = \frac{3n-2}{n+1}$;

е) $x_n = \frac{5n-2}{n+1}$?

а) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{n}{n+2}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $n$ (старшую степень переменной):
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} $.
Так как при $n \to \infty$ выражение $\frac{2}{n}$ стремится к нулю, получаем:
$ \frac{1}{1+0} = 1 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 1.

б) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{2n}{n+2}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Разделим числитель и знаменатель на $n$:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{2}{n}} $.
Поскольку при $n \to \infty$ слагаемое $\frac{2}{n}$ стремится к нулю, получаем:
$ \frac{2}{1+0} = 2 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 2.

в) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{3n+1}{n}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Преобразуем выражение, разделив почленно числитель на знаменатель:
$ x_n = \frac{3n}{n} + \frac{1}{n} = 3 + \frac{1}{n} $.
Теперь найдем предел:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(3 + \frac{1}{n}\right) $.
Так как при $n \to \infty$ слагаемое $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, предел равен:
$ 3 + 0 = 3 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 3.

г) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{4n-2}{n}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Преобразуем выражение, разделив почленно числитель на знаменатель:
$ x_n = \frac{4n}{n} - \frac{2}{n} = 4 - \frac{2}{n} $.
Теперь найдем предел:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(4 - \frac{2}{n}\right) $.
Поскольку при $n \to \infty$ слагаемое $\frac{2}{n}$ стремится к нулю, предел равен:
$ 4 - 0 = 4 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 4.

д) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{3n-2}{n+1}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Разделим числитель и знаменатель на $n$:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n-2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} - \frac{2}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n}} $.
Так как при $n \to \infty$ слагаемые $\frac{2}{n}$ и $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю, получаем:
$ \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 3.

е) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{5n-2}{n+1}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Разделим числитель и знаменатель на $n$:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5n-2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n} - \frac{2}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n}} $.
Так как при $n \to \infty$ слагаемые $\frac{2}{n}$ и $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю, получаем:
$ \frac{5 - 0}{1 + 0} = 5 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 5.

4.48* Представим себе, что некоторый банк платит по вкладам 100% годовых независимо от срока хранения вклада — за 1 год 100%, за $\frac{1}{2}$ года 50%, за $\frac{1}{3}$ года $\frac{100\%}{3}$, за $\frac{1}{4}$ года 25% и т. д. Составьте формулу, по которой можно найти число, показывающее, во сколько раз увеличилась вложенная сумма к концу года, если проводилось $n - 1$ перевложение суммы на $\frac{1}{n}$ часть года. К чему стремится это число при $n \rightarrow +\infty$?

Составьте формулу, по которой можно найти число, показывающее, во сколько раз увеличилась вложенная сумма к концу года, если проводилось n – 1 перевложение суммы на 1/n часть года.

Это классическая задача на сложные проценты с капитализацией.

Пусть начальная сумма вклада равна $S_0$. Годовая процентная ставка составляет $100\%$, что в десятичных долях равно $1$.

Согласно условию, год делится на $n$ равных периодов. Длительность каждого периода составляет $\frac{1}{n}$ года. Поскольку процентная ставка пропорциональна сроку хранения, ставка за один такой период составит $100\% \cdot \frac{1}{n} = \frac{100}{n}\%$, что в долях равно $\frac{1}{n}$.

Начисление процентов происходит с капитализацией, то есть проценты, начисленные за один период, добавляются к основной сумме, и в следующем периоде проценты начисляются уже на новую, увеличенную сумму.

Если в начале периода на счете была сумма $S$, то в конце периода она станет $S \cdot (1 + \frac{1}{n})$.

Процесс повторяется $n$ раз в течение года (начальное вложение и $n-1$ последующих перевложений). Рассчитаем итоговую сумму $S_n$ к концу года:

• После 1-го периода: $S_1 = S_0 \left(1 + \frac{1}{n}\right)$
• После 2-го периода: $S_2 = S_1 \left(1 + \frac{1}{n}\right) = S_0 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$
• ...
• После n-го периода: $S_n = S_0 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

Чтобы найти, во сколько раз увеличилась вложенная сумма, нужно найти отношение конечной суммы $S_n$ к начальной $S_0$. Обозначим это число как $K(n)$.

$K(n) = \frac{S_n}{S_0} = \frac{S_0 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{S_0} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.

Это и есть искомая формула.

Ответ: Формула, показывающая, во сколько раз увеличилась вложенная сумма, имеет вид: $K(n) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.

К чему стремится это число при n → +∞?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо найти предел полученного выражения при $n$, стремящемся к бесконечности. Этот процесс в финансах называется непрерывным начислением процентов.

$\lim_{n \to \infty} K(n) = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.

Данный предел является одним из фундаментальных пределов в математическом анализе и известен как второй замечательный предел. Его значением является иррациональное число $e$ (число Эйлера).

$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$.

Число $e$ приблизительно равно $2.71828$.

Таким образом, при бесконечно частом перевложении вклада в течение года (когда $n \to \infty$), первоначальная сумма увеличится не до бесконечности, а будет стремиться к увеличению в $e$ раз.

Ответ: Это число стремится к числу $e$ (числу Эйлера).