Номер 4.45, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 4. Степень положительного числа. 4.6. Число е - номер 4.45, страница 142.

Условие.

4.45° Сформулируйте теорему о существовании предела:

а) ограниченной сверху неубывающей последовательности;

б) ограниченной снизу невозрастающей последовательности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) ограниченной сверху неубывающей последовательности;

Эта теорема, известная как теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности, устанавливает условия, при которых монотонная последовательность имеет конечный предел.

Рассмотрим числовую последовательность $\{x_n\}$.
Последовательность называется неубывающей, если каждый её последующий член не меньше предыдущего, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_{n+1} \ge x_n$.
Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что все члены последовательности не превосходят его, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $x_n \le M$.

Теорема утверждает, что если последовательность одновременно удовлетворяет этим двум условиям (монотонно не убывает и ограничена сверху), то она сходится. Предел такой последовательности равен её точной верхней грани (супремуму) — наименьшему из всех чисел, которые ограничивают последовательность сверху.

Ответ: Всякая неубывающая и ограниченная сверху числовая последовательность имеет конечный предел, равный её точной верхней грани (супремуму).

б) ограниченной снизу невозрастающей последовательности.

Это вторая часть той же теоремы Вейерштрасса, рассматривающая другой случай монотонной последовательности.

Рассмотрим числовую последовательность $\{y_n\}$.
Последовательность называется невозрастающей, если каждый её последующий член не больше предыдущего, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_{n+1} \le y_n$.
Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что все члены последовательности не меньше него, то есть для любого натурального $n$ выполняется неравенство $y_n \ge m$.

Теорема для этого случая утверждает, что если последовательность монотонно не возрастает и ограничена снизу, она также сходится. Предел такой последовательности равен её точной нижней грани (инфимуму) — наибольшему из всех чисел, которые ограничивают последовательность снизу.

Ответ: Всякая невозрастающая и ограниченная снизу числовая последовательность имеет конечный предел, равный её точной нижней грани (инфимуму).