Номер 4.38, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.38, страница 138.

4.38 Вычислите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

a) $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots;$

б) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots;$

в) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} + \dots;$

г) $0{,}1 + 0{,}01 + \dots + (0{,}1)^n + \dots$

Для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула: $S = \frac{b_1}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, при условии $|q| < 1$.

а) $\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots$

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый: $q = \frac{1/2^2}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.
Так как $|q|=|\frac{1}{2}| < 1$, мы можем применить формулу суммы.
Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$.
Ответ: 1

б) $\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots$

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{1/3^2}{1/3} = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3}$.
Так как $|q|=|\frac{1}{3}| < 1$, применяем формулу суммы.
Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} + \dots$

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Первый член прогрессии $b_1 = 1$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}$.
Так как $|q|=|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, применяем формулу суммы.
Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{1}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

г) $0,1 + 0,01 + \dots + (0,1)^n + \dots$

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Первый член прогрессии $b_1 = 0,1$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{0,01}{0,1} = 0,1$.
Так как $|q|=|0,1| < 1$, применяем формулу суммы.
Сумма прогрессии равна: $S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{0,1}{1-0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$