Номер 4.35, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.4*. Свойства пределов. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.35, страница 136.

Найдите предел (4.35–4.37):

4.35 a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 12}{n + 11}$;

б) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n - 1}$;

в) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{5 - 3n}$;

г) $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n}{n + 2}$;

д) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{2n^2 - 1}$;

е) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 5}$;

ж) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + n}{n^2 - 1}$;

з) $\lim_{n \to +\infty} \frac{2 - n}{3 - n^2}$;

и) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 1}{n^3 + n}$.

Для нахождения пределов данных рациональных функций при $n \to +\infty$ мы используем метод деления числителя и знаменателя на старшую степень переменной $n$ в знаменателе. Это позволяет избавиться от неопределенности вида $\frac{\infty}{\infty}$ и свести задачу к использованию известного факта, что $\lim_{n \to +\infty} \frac{c}{n^k} = 0$ для любой константы $c$ и $k > 0$.

а) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n + 12}{n + 11}$. Старшая степень $n$ в знаменателе — первая ($n^1$). Разделим числитель и знаменатель на $n$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n + 12}{n + 11} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n}{n} + \frac{12}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{11}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{12}{n}}{1 + \frac{11}{n}} $. Поскольку при $n \to +\infty$ слагаемые $\frac{12}{n}$ и $\frac{11}{n}$ стремятся к нулю, получаем: $ \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1 $. Ответ: 1.

б) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n - 1}$. Разделим числитель и знаменатель на $n$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{n}{n} - \frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{n}} $. Так как $\frac{1}{n} \to 0$ при $n \to +\infty$, имеем: $ \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2 $. Ответ: 2.

в) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{5 - 3n}$. Разделим числитель и знаменатель на $n$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{5 - 3n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{5}{n} - \frac{3n}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{5}{n} - 3} $. Учитывая, что $\frac{1}{n} \to 0$ и $\frac{5}{n} \to 0$ при $n \to +\infty$: $ \frac{2 + 0}{0 - 3} = -\frac{2}{3} $. Ответ: $-\frac{2}{3}$.

г) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n}{n + 2}$. Разделим числитель и знаменатель на $n$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{3n}{n + 2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{3n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3}{1 + \frac{2}{n}} $. Так как $\frac{2}{n} \to 0$ при $n \to +\infty$: $ \frac{3}{1 + 0} = 3 $. Ответ: 3.

д) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{2n^2 - 1}$. Старшая степень $n$ в знаменателе — вторая ($n^2$). Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{2n^2 - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2 - \frac{1}{n^2}} $. Поскольку $\frac{1}{n^2} \to 0$ при $n \to +\infty$: $ \frac{1}{2 - 0} = \frac{1}{2} $. Ответ: $\frac{1}{2}$.

е) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 5}$. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 1}{n^2 + 5} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{5}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 - \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{5}{n^2}} $. Учитывая, что $\frac{1}{n^2} \to 0$ и $\frac{5}{n^2} \to 0$ при $n \to +\infty$: $ \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2 $. Ответ: 2.

ж) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + n}{n^2 - 1}$. Старшая степень $n$ в знаменателе — $n^2$. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + n}{n^2 - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^3}{n^2} + \frac{n}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} - \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n + \frac{1}{n}}{1 - \frac{1}{n^2}} $. При $n \to +\infty$, числитель $n + \frac{1}{n}$ стремится к $+\infty$ (так как $n \to +\infty$ и $\frac{1}{n} \to 0$), а знаменатель $1 - \frac{1}{n^2}$ стремится к 1. Таким образом, предел равен бесконечности. $ \frac{+\infty + 0}{1 - 0} = +\infty $. Ответ: $+\infty$.

з) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{2 - n}{3 - n^2}$. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{2 - n}{3 - n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2}{n^2} - \frac{n}{n^2}}{\frac{3}{n^2} - \frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2}{n^2} - \frac{1}{n}}{\frac{3}{n^2} - 1} $. Так как $\frac{2}{n^2} \to 0$, $\frac{1}{n} \to 0$ и $\frac{3}{n^2} \to 0$ при $n \to +\infty$: $ \frac{0 - 0}{0 - 1} = 0 $. Ответ: 0.

и) Найдем предел $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 1}{n^3 + n}$. Старшая степень $n$ в знаменателе — $n^3$. Разделим числитель и знаменатель на $n^3$: $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2 - 1}{n^3 + n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^2}{n^3} - \frac{1}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3} + \frac{n}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n^3}}{1 + \frac{1}{n^2}} $. Поскольку все слагаемые с $n$ в знаменателе стремятся к нулю при $n \to +\infty$: $ \frac{0 - 0}{1 + 0} = 0 $. Ответ: 0.