Номер 4.28, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.3. Понятие предела последовательности. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.28, страница 133.

4.28 Что значит $\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty$, $\lim_{n \to +\infty} x_n = -\infty$? Приведите примеры.

$\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty$

Это выражение означает, что последовательность $x_n$ является бесконечно большой и стремится к плюс бесконечности. Формальное определение звучит так: для любого, сколь угодно большого положительного числа $M$, существует такой номер $N$ (зависящий от $M$), что для всех членов последовательности с номерами $n$, большими чем $N$, выполняется неравенство $x_n > M$.

Математически это записывается следующим образом:
$\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty \iff \forall M > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall n > N \implies x_n > M$.

Простыми словами, это означает, что как бы мы ни выбрали большое положительное число ("горизонт" $M$), начиная с некоторого момента все члены последовательности будут находиться выше этого "горизонта" и никогда не опустятся ниже.

Примеры:

1. $x_n = n$. Последовательность $1, 2, 3, \dots$. Чтобы доказать, что ее предел равен $+\infty$, возьмем любое $M > 0$. Нам нужно, чтобы $x_n > M$, то есть $n > M$. В качестве номера $N$ можно взять целую часть от $M$, то есть $N = \lfloor M \rfloor$. Тогда для любого $n > N$ неравенство $n > M$ будет выполняться.

2. $x_n = n^2$. Последовательность $1, 4, 9, \dots$. Возьмем любое $M > 0$. Нам нужно, чтобы $n^2 > M$, что эквивалентно $n > \sqrt{M}$. Выбрав $N = \lfloor \sqrt{M} \rfloor$, мы обеспечим выполнение условия для всех $n > N$.

3. $x_n = 2^n - 100$. Несмотря на то что первые члены могут быть отрицательными, экспоненциальный рост $2^n$ в итоге приведет к тому, что последовательность станет неограниченно большой.

Ответ: Запись $\lim_{n \to +\infty} x_n = +\infty$ означает, что для любого положительного числа $M$ найдется такой номер $N$, что все члены последовательности $x_n$ с номерами $n > N$ будут больше $M$. Примеры: $x_n = n$, $x_n = n^3$, $x_n = 5^n$.

$\lim_{n \to +\infty} x_n = -\infty$

Это выражение означает, что последовательность $x_n$ стремится к минус бесконечности. Формальное определение: для любого, сколь угодно большого по модулю отрицательного числа $M$ (то есть $M < 0$), существует такой номер $N$, что для всех членов последовательности с номерами $n > N$ выполняется неравенство $x_n < M$.

Математически это записывается так:
$\lim_{n \to +\infty} x_n = -\infty \iff \forall M < 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall n > N \implies x_n < M$.

Простыми словами, это означает, что как бы мы ни выбрали большое по модулю отрицательное число ("дно" $M$), начиная с некоторого момента все члены последовательности будут находиться ниже этого "дна" и никогда не поднимутся выше.

Примеры:

1. $x_n = -n$. Последовательность $-1, -2, -3, \dots$. Чтобы доказать, что ее предел равен $-\infty$, возьмем любое отрицательное число $M < 0$. Нам нужно, чтобы $x_n < M$, то есть $-n < M$. Умножая обе части на $-1$ (и меняя знак неравенства), получаем $n > -M$. Так как $M$ отрицательно, $-M$ — положительное число. В качестве $N$ можно взять $N = \lfloor -M \rfloor$. Тогда для любого $n > N$ будет выполняться $n > -M$, что равносильно $-n < M$.

2. $x_n = 50 - n^2$. Возьмем любое $M < 0$. Нам нужно, чтобы $50 - n^2 < M$. Это эквивалентно $n^2 > 50 - M$. Так как $M$ — отрицательное число, $50 - M$ — положительное. Решая неравенство, получаем $n > \sqrt{50 - M}$. Выбрав $N = \lfloor \sqrt{50 - M} \rfloor$, мы обеспечим выполнение условия.

3. $x_n = -\ln(n)$. Логарифмическая функция растет медленно, но неограниченно, поэтому последовательность $-\ln(n)$ будет неограниченно убывать.

Ответ: Запись $\lim_{n \to +\infty} x_n = -\infty$ означает, что для любого отрицательного числа $M$ найдется такой номер $N$, что все члены последовательности $x_n$ с номерами $n > N$ будут меньше $M$. Примеры: $x_n = -n$, $x_n = 1 - n^2$, $x_n = -3^n$.