Номер 4.34, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.4*. Свойства пределов. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.34, страница 136.

4.34 По каким правилам вычисляют пределы суммы, разности, произведения и частного переменных $x_n$ и $y_n$?

Вычисление пределов суммы, разности, произведения и частного для последовательностей (в вопросе они названы переменными) $x_n$ и $y_n$ производится на основе так называемых арифметических свойств пределов. Эти правила применимы, если пределы исходных последовательностей существуют и конечны.

Пусть существуют конечные пределы: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ и $\lim_{n \to \infty} y_n = b$, где $a$ и $b$ — некоторые числа.

Предел суммы
Предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме их пределов. Это означает, что операция сложения и операция взятия предела перестановочны (их можно менять местами).
Ответ: $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n = a + b$.

Предел разности
Предел разности двух сходящихся последовательностей равен разности их пределов. По аналогии с суммой, операция вычитания и взятие предела перестановочны.
Ответ: $\lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n - \lim_{n \to \infty} y_n = a - b$.

Предел произведения
Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов.
Ответ: $\lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = (\lim_{n \to \infty} x_n) \cdot (\lim_{n \to \infty} y_n) = a \cdot b$.
Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела: $\lim_{n \to \infty} (c \cdot x_n) = c \cdot \lim_{n \to \infty} x_n = c \cdot a$.

Предел частного
Предел частного (отношения) двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю.
Ответ: $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} x_n}{\lim_{n \to \infty} y_n} = \frac{a}{b}$, при обязательном условии, что $b \neq 0$.

Эти четыре правила являются фундаментальными при вычислении пределов. Важно помнить, что они работают только для сходящихся последовательностей. Если предел знаменателя в правиле для частного равен нулю, возникает неопределенность вида $\frac{a}{0}$ (если $a \neq 0$) или $\frac{0}{0}$, которые требуют отдельных методов исследования.