Номер 4.32, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.3. Понятие предела последовательности. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.32, страница 133.

4.32 Для заданного числа $M > 0$ укажите такое число $N$, что для всех натуральных $n > N$ выполняется неравенство $|x_n| > M$, если:

а) $x_n = n$;

б) $x_n = -n$;

в) $x_n = \frac{n}{100}$;

г) $x_n = n^2$;

д) $x_n = -3n$;

е) $x_n = \frac{n^2}{2000}$.

а) Для последовательности $x_n = n$ требуется найти такое число $N$, что для всех натуральных $n > N$ выполняется неравенство $|x_n| > M$. Подставим выражение для $x_n$ в неравенство: $|n| > M$. Поскольку по условию $n$ является натуральным числом, то $n > 0$, и, следовательно, $|n| = n$. Таким образом, неравенство принимает вид $n > M$. Чтобы это неравенство выполнялось для всех $n > N$, достаточно выбрать $N = M$. Тогда для любого натурального $n > N$ будет верно $n > M$, и, значит, $|x_n| > M$.
Ответ: $N = M$.

б) Для последовательности $x_n = -n$ требуется решить неравенство $|-n| > M$. Так как $n$ — натуральное число, то $n > 0$, и модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному: $|-n| = n$. Неравенство сводится к $n > M$. Таким образом, как и в предыдущем пункте, можно выбрать $N = M$.
Ответ: $N = M$.

в) Для последовательности $x_n = \frac{n}{100}$ решаем неравенство $|\frac{n}{100}| > M$. Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $\frac{n}{100}$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить: $\frac{n}{100} > M$. Чтобы выразить $n$, умножим обе части неравенства на 100: $n > 100M$. Следовательно, можно выбрать $N = 100M$.
Ответ: $N = 100M$.

г) Для последовательности $x_n = n^2$ решаем неравенство $|n^2| > M$. Так как $n$ — натуральное число, $n^2$ всегда положительно, и модуль можно убрать: $n^2 > M$. По условию $M > 0$, и так как $n$ натуральное, то $n > 0$. Поэтому можно извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства, не меняя его знака: $n > \sqrt{M}$. Следовательно, можно выбрать $N = \sqrt{M}$.
Ответ: $N = \sqrt{M}$.

д) Для последовательности $x_n = -3n$ решаем неравенство $|-3n| > M$. Так как $n$ — натуральное число, $n > 0$, и, следовательно, $|-3n| = 3n$. Неравенство принимает вид $3n > M$. Разделив обе части на 3, получаем $n > \frac{M}{3}$. Таким образом, можно выбрать $N = \frac{M}{3}$.
Ответ: $N = \frac{M}{3}$.

е) Для последовательности $x_n = \frac{n^2}{2000}$ решаем неравенство $|\frac{n^2}{2000}| > M$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n^2 > 0$, и выражение под модулем всегда положительно. Убираем модуль: $\frac{n^2}{2000} > M$. Умножим обе части на 2000: $n^2 > 2000M$. Так как $n > 0$ и $M > 0$, можно извлечь квадратный корень: $n > \sqrt{2000M}$. Следовательно, мы можем выбрать $N = \sqrt{2000M}$.
Ответ: $N = \sqrt{2000M}$.