Номер 4.30, страница 133 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.3. Понятие предела последовательности. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.30, страница 133.

4.30 Для заданного положительного $ \varepsilon $ укажите такое число $ N $, что для переменной $ \alpha_n $ для всех натуральных $ n > N $ выполняется неравенство $ |\alpha_n| < \varepsilon $, если:

а) $ \alpha_n = \frac{1}{n}; $

б) $ \alpha_n = \frac{2}{n}; $

в) $ \alpha_n = \frac{3}{2n}; $

г) $ \alpha_n = -\frac{5}{n}; $

д) $ \alpha_n = \frac{(-1)^n}{n}; $

е) $ \alpha_n = \frac{1}{n+2}. $

Для каждого случая необходимо найти такое число $N$, что для всех натуральных чисел $n > N$ будет выполняться неравенство $|\alpha_n| < \varepsilon$. Для этого мы решим это неравенство относительно $n$.

а) Для $\alpha_n = \frac{1}{n}$ требуется, чтобы выполнялось $|\frac{1}{n}| < \varepsilon$.
Поскольку $n$ — натуральное число, $n > 0$, то $\frac{1}{n}$ всегда положительно. Следовательно, знак модуля можно опустить:
$\frac{1}{n} < \varepsilon$
Так как $\varepsilon$ — положительное число, мы можем умножить обе части на $n$ и разделить на $\varepsilon$, не меняя знака неравенства:
$1 < n \cdot \varepsilon$
$n > \frac{1}{\varepsilon}$
Таким образом, неравенство будет выполняться для всех $n$, которые больше, чем $\frac{1}{\varepsilon}$. Значит, в качестве $N$ можно взять $\frac{1}{\varepsilon}$.
Ответ: $N = \frac{1}{\varepsilon}$.

б) Для $\alpha_n = -\frac{2}{n}$ требуется, чтобы выполнялось $|-\frac{2}{n}| < \varepsilon$.
Так как $n$ — натуральное число, $n > 0$, модуль этого выражения равен:
$|-\frac{2}{n}| = \frac{2}{n}$
Получаем неравенство:
$\frac{2}{n} < \varepsilon$
Решаем его относительно $n$:
$2 < n \cdot \varepsilon$
$n > \frac{2}{\varepsilon}$
Следовательно, можно выбрать $N = \frac{2}{\varepsilon}$.
Ответ: $N = \frac{2}{\varepsilon}$.

в) Для $\alpha_n = \frac{3}{2n}$ требуется, чтобы выполнялось $|\frac{3}{2n}| < \varepsilon$.
Поскольку $n$ — натуральное число, $2n > 0$, выражение под модулем положительно, поэтому модуль можно убрать:
$\frac{3}{2n} < \varepsilon$
Выражаем $n$:
$3 < 2n \cdot \varepsilon$
$n > \frac{3}{2\varepsilon}$
Следовательно, можно выбрать $N = \frac{3}{2\varepsilon}$.
Ответ: $N = \frac{3}{2\varepsilon}$.

г) Для $\alpha_n = -\frac{5}{n}$ требуется, чтобы выполнялось $|-\frac{5}{n}| < \varepsilon$.
Раскрываем модуль:
$|-\frac{5}{n}| = \frac{5}{n}$
Получаем неравенство:
$\frac{5}{n} < \varepsilon$
Выражаем $n$:
$5 < n \cdot \varepsilon$
$n > \frac{5}{\varepsilon}$
Следовательно, можно выбрать $N = \frac{5}{\varepsilon}$.
Ответ: $N = \frac{5}{\varepsilon}$.

д) Для $\alpha_n = \frac{(-1)^n}{n}$ требуется, чтобы выполнялось $|\frac{(-1)^n}{n}| < \varepsilon$.
Раскрываем модуль, учитывая, что $|(-1)^n| = 1$ и $|n| = n$ для натурального $n$:
$|\frac{(-1)^n}{n}| = \frac{|(-1)^n|}{|n|} = \frac{1}{n}$
Получаем неравенство:
$\frac{1}{n} < \varepsilon$
Решая его, находим:
$n > \frac{1}{\varepsilon}$
Следовательно, можно выбрать $N = \frac{1}{\varepsilon}$.
Ответ: $N = \frac{1}{\varepsilon}$.

е) Для $\alpha_n = \frac{1}{n+2}$ требуется, чтобы выполнялось $|\frac{1}{n+2}| < \varepsilon$.
Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n+2$ всегда положительно. Модуль можно убрать:
$\frac{1}{n+2} < \varepsilon$
Решаем неравенство относительно $n$:
$1 < (n+2) \cdot \varepsilon$
$\frac{1}{\varepsilon} < n+2$
$n > \frac{1}{\varepsilon} - 2$
Следовательно, можно выбрать $N = \frac{1}{\varepsilon} - 2$.
Ответ: $N = \frac{1}{\varepsilon} - 2$.