Номер 4.36, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 4. Степень положительного числа. 4.4*. Свойства пределов - номер 4.36, страница 136.

Условие.

4.36 a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4};$

б) $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1};$

В) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1};$

г) $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4}$

Для нахождения предела данного отношения многочленов при $n \to +\infty$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$ в выражении, которой является $n^3$.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^3}{n^3} + \frac{3n^2}{n^3} - \frac{1}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3} - \frac{5n}{n^3} + \frac{4}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^3}}{2 - \frac{5}{n^2} + \frac{4}{n^3}}$

При $n \to +\infty$ все слагаемые, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю ($\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^3} \to 0$, $\frac{5}{n^2} \to 0$, $\frac{4}{n^3} \to 0$). Подставив их предельные значения, получаем:

$\frac{1 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{1}{2}$

Также можно воспользоваться правилом: если степени многочленов в числителе и знаменателе равны, то предел их отношения при $n \to +\infty$ равен отношению коэффициентов при старших степенях. В данном случае степени равны 3, а коэффициенты при $n^3$ равны 1 и 2. Предел равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1}$

Здесь мы также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Степень многочлена в числителе (3) больше степени многочлена в знаменателе (2). Это означает, что числитель растет быстрее знаменателя, и предел будет равен бесконечности. Для формального решения разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на $n^2$.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{3n^3}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} - \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3n - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{4 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}$

При $n \to +\infty$ выражения $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ стремятся к 0.

Числитель $3n - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$ стремится к $\lim_{n \to +\infty}(3n) = +\infty$.

Знаменатель стремится к $4 + 0 - 0 = 4$.

Таким образом, предел равен $\frac{+\infty}{4}$, что равно $+\infty$.

Ответ: $+\infty$

в) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1}$

В этом примере степень многочлена в числителе (3) меньше степени многочлена в знаменателе (5). Это означает, что знаменатель растет значительно быстрее числителя. В таких случаях предел равен нулю. Для формального доказательства разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, $n^5$.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^3}{n^5} - \frac{3n^2}{n^5} + \frac{1}{n^5}}{\frac{n^5}{n^5} - \frac{100n}{n^5} - \frac{1}{n^5}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{3}{n^3} + \frac{1}{n^5}}{1 - \frac{100}{n^4} - \frac{1}{n^5}}$

При $n \to +\infty$ все слагаемые, которые имеют $n$ в знаменателе, стремятся к нулю.

$\frac{0 - 0 + 0}{1 - 0 - 0} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $0$

г) $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1}$

В данном случае числитель является константой (1), а знаменатель представляет собой многочлен, который стремится к бесконечности при $n \to +\infty$.

Рассмотрим предел знаменателя: $\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n + 1)$. Так как $n^3$ растет быстрее, чем $10n$, он доминирует в выражении, и знаменатель стремится к $+\infty$.

Предел всей дроби представляет собой отношение константы к бесконечно большой величине, что равно нулю.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1} = \frac{1}{\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n + 1)} = \frac{1}{+\infty} = 0$

Формально это можно показать, разделив числитель и знаменатель на старшую степень $n$ в знаменателе ($n^3$):

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3} - \frac{10n}{n^3} + \frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{1 - \frac{10}{n^2} + \frac{1}{n^3}} = \frac{0}{1 - 0 + 0} = 0$

Ответ: $0$