Номер 4.36, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
4.4*. Свойства пределов. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.36, страница 136.
№4.36 (с. 136)
Условие. №4.36 (с. 136)
скриншот условия

4.36 a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4};$
б) $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1};$
В) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1};$
г) $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1}.$
Решение 1. №4.36 (с. 136)




Решение 2. №4.36 (с. 136)

Решение 3. №4.36 (с. 136)

Решение 4. №4.36 (с. 136)

Решение 5. №4.36 (с. 136)
а) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4}$
Для нахождения предела данного отношения многочленов при $n \to +\infty$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$ в выражении, которой является $n^3$.
$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^3}{n^3} + \frac{3n^2}{n^3} - \frac{1}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3} - \frac{5n}{n^3} + \frac{4}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^3}}{2 - \frac{5}{n^2} + \frac{4}{n^3}}$
При $n \to +\infty$ все слагаемые, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю ($\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^3} \to 0$, $\frac{5}{n^2} \to 0$, $\frac{4}{n^3} \to 0$). Подставив их предельные значения, получаем:
$\frac{1 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{1}{2}$
Также можно воспользоваться правилом: если степени многочленов в числителе и знаменателе равны, то предел их отношения при $n \to +\infty$ равен отношению коэффициентов при старших степенях. В данном случае степени равны 3, а коэффициенты при $n^3$ равны 1 и 2. Предел равен $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$
б) $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1}$
Здесь мы также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Степень многочлена в числителе (3) больше степени многочлена в знаменателе (2). Это означает, что числитель растет быстрее знаменателя, и предел будет равен бесконечности. Для формального решения разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на $n^2$.
$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{3n^3}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} - \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3n - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{4 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}$
При $n \to +\infty$ выражения $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ стремятся к 0.
Числитель $3n - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$ стремится к $\lim_{n \to +\infty}(3n) = +\infty$.
Знаменатель стремится к $4 + 0 - 0 = 4$.
Таким образом, предел равен $\frac{+\infty}{4}$, что равно $+\infty$.
Ответ: $+\infty$
в) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1}$
В этом примере степень многочлена в числителе (3) меньше степени многочлена в знаменателе (5). Это означает, что знаменатель растет значительно быстрее числителя. В таких случаях предел равен нулю. Для формального доказательства разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, $n^5$.
$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^3}{n^5} - \frac{3n^2}{n^5} + \frac{1}{n^5}}{\frac{n^5}{n^5} - \frac{100n}{n^5} - \frac{1}{n^5}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{3}{n^3} + \frac{1}{n^5}}{1 - \frac{100}{n^4} - \frac{1}{n^5}}$
При $n \to +\infty$ все слагаемые, которые имеют $n$ в знаменателе, стремятся к нулю.
$\frac{0 - 0 + 0}{1 - 0 - 0} = \frac{0}{1} = 0$
Ответ: $0$
г) $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1}$
В данном случае числитель является константой (1), а знаменатель представляет собой многочлен, который стремится к бесконечности при $n \to +\infty$.
Рассмотрим предел знаменателя: $\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n + 1)$. Так как $n^3$ растет быстрее, чем $10n$, он доминирует в выражении, и знаменатель стремится к $+\infty$.
Предел всей дроби представляет собой отношение константы к бесконечно большой величине, что равно нулю.
$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1} = \frac{1}{\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n + 1)} = \frac{1}{+\infty} = 0$
Формально это можно показать, разделив числитель и знаменатель на старшую степень $n$ в знаменателе ($n^3$):
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3} - \frac{10n}{n^3} + \frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{1 - \frac{10}{n^2} + \frac{1}{n^3}} = \frac{0}{1 - 0 + 0} = 0$
Ответ: $0$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4.36 расположенного на странице 136 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.36 (с. 136), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.