Номер 4.36, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087768-8

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

4.4*. Свойства пределов. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.36, страница 136.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№4.36 (с. 136)
Условие. №4.36 (с. 136)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 4.36, Условие

4.36 a) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4};$

б) $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1};$

В) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1};$

г) $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1}.$

Решение 1. №4.36 (с. 136)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 4.36, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 4.36, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 4.36, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 4.36, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №4.36 (с. 136)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 4.36, Решение 2
Решение 3. №4.36 (с. 136)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 4.36, Решение 3
Решение 4. №4.36 (с. 136)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 136, номер 4.36, Решение 4
Решение 5. №4.36 (с. 136)

а) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4}$

Для нахождения предела данного отношения многочленов при $n \to +\infty$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$ в выражении, которой является $n^3$.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 + 3n^2 - 1}{2n^3 - 5n + 4} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^3}{n^3} + \frac{3n^2}{n^3} - \frac{1}{n^3}}{\frac{2n^3}{n^3} - \frac{5n}{n^3} + \frac{4}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^3}}{2 - \frac{5}{n^2} + \frac{4}{n^3}}$

При $n \to +\infty$ все слагаемые, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю ($\frac{3}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^3} \to 0$, $\frac{5}{n^2} \to 0$, $\frac{4}{n^3} \to 0$). Подставив их предельные значения, получаем:

$\frac{1 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{1}{2}$

Также можно воспользоваться правилом: если степени многочленов в числителе и знаменателе равны, то предел их отношения при $n \to +\infty$ равен отношению коэффициентов при старших степенях. В данном случае степени равны 3, а коэффициенты при $n^3$ равны 1 и 2. Предел равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1}$

Здесь мы также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Степень многочлена в числителе (3) больше степени многочлена в знаменателе (2). Это означает, что числитель растет быстрее знаменателя, и предел будет равен бесконечности. Для формального решения разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, то есть на $n^2$.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^3 - n + 1}{4n^2 + n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{3n^3}{n^2} - \frac{n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2} + \frac{n}{n^2} - \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{3n - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{4 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}}$

При $n \to +\infty$ выражения $\frac{1}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ стремятся к 0.

Числитель $3n - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$ стремится к $\lim_{n \to +\infty}(3n) = +\infty$.

Знаменатель стремится к $4 + 0 - 0 = 4$.

Таким образом, предел равен $\frac{+\infty}{4}$, что равно $+\infty$.

Ответ: $+\infty$

в) $\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1}$

В этом примере степень многочлена в числителе (3) меньше степени многочлена в знаменателе (5). Это означает, что знаменатель растет значительно быстрее числителя. В таких случаях предел равен нулю. Для формального доказательства разделим числитель и знаменатель на старшую степень знаменателя, $n^5$.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{n^3 - 3n^2 + 1}{n^5 - 100n - 1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n^3}{n^5} - \frac{3n^2}{n^5} + \frac{1}{n^5}}{\frac{n^5}{n^5} - \frac{100n}{n^5} - \frac{1}{n^5}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^2} - \frac{3}{n^3} + \frac{1}{n^5}}{1 - \frac{100}{n^4} - \frac{1}{n^5}}$

При $n \to +\infty$ все слагаемые, которые имеют $n$ в знаменателе, стремятся к нулю.

$\frac{0 - 0 + 0}{1 - 0 - 0} = \frac{0}{1} = 0$

Ответ: $0$

г) $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1}$

В данном случае числитель является константой (1), а знаменатель представляет собой многочлен, который стремится к бесконечности при $n \to +\infty$.

Рассмотрим предел знаменателя: $\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n + 1)$. Так как $n^3$ растет быстрее, чем $10n$, он доминирует в выражении, и знаменатель стремится к $+\infty$.

Предел всей дроби представляет собой отношение константы к бесконечно большой величине, что равно нулю.

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^3 - 10n + 1} = \frac{1}{\lim_{n \to +\infty} (n^3 - 10n + 1)} = \frac{1}{+\infty} = 0$

Формально это можно показать, разделив числитель и знаменатель на старшую степень $n$ в знаменателе ($n^3$):

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3} - \frac{10n}{n^3} + \frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{1 - \frac{10}{n^2} + \frac{1}{n^3}} = \frac{0}{1 - 0 + 0} = 0$

Ответ: $0$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4.36 расположенного на странице 136 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.36 (с. 136), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться