Номер 4.43, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.43, страница 139.

Рис. 37

ИССЛЕДУЕМ (4.43–4.44):

4.43* Стороны квадрата разделили на 3 равные части. На каждой средней части во внешнюю область построили новый квадрат и эту среднюю часть удалили. Получилась фигура, изображённая на рисунке 37, а. Затем каждую сторону полученной фигуры разделили на 3 равные части. На каждой средней части построили новый квадрат во внешнюю область и эту среднюю часть удалили. Получилась фигура, изображённая на рисунке 37, б. Тем же способом получили третью фигуру (рис. 37, в) и т. д.

а) Определите площадь $S_n$ фигуры, полученной после $n$-го преобразования, если $a$ — сторона исходного квадрата.

б) Определите предел, к которому стремится площадь $S_n$ фигуры при $n \to +\infty$.

а)

Для определения площади $S_n$ фигуры, полученной после $n$-го преобразования, проанализируем, как изменяется площадь на каждом шаге. Исходная фигура — это квадрат со стороной $a$, его начальная площадь $S_0 = a^2$.

На первом шаге ($k=1$) к каждой из 4 сторон исходного квадрата добавляется новый квадрат. Сторона этого нового квадрата равна средней трети стороны исходного, то есть $a/3$. Таким образом, добавляется 4 квадрата. Площадь, добавленная на этом шаге, равна: $\Delta S_1 = 4 \cdot \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}a^2$. Общая площадь фигуры $S_1$ после первого преобразования становится: $S_1 = S_0 + \Delta S_1 = a^2 + \frac{4}{9}a^2$. Новая фигура теперь имеет $4 \cdot 4 = 16$ сторон, длина каждой из которых равна $a/3$.

На втором шаге ($k=2$) к каждой из 16 сторон полученной фигуры добавляется новый квадрат со стороной, равной $\frac{1}{3}$ длины стороны предыдущей фигуры, то есть $\frac{1}{3} \cdot \frac{a}{3} = \frac{a}{3^2} = \frac{a}{9}$. Площадь, добавленная на этом шаге, равна: $\Delta S_2 = 16 \cdot \left(\frac{a}{9}\right)^2 = 16 \cdot \frac{a^2}{81} = \frac{16}{81}a^2 = a^2 \left(\frac{4}{9}\right)^2$. Общая площадь $S_2$ после второго преобразования: $S_2 = S_1 + \Delta S_2 = a^2 + \frac{4}{9}a^2 + \frac{16}{81}a^2$.

Обобщая, на $k$-м шаге фигура имеет $N_{k-1} = 4 \cdot 4^{k-1} = 4^k$ сторон. На этом шаге мы добавляем $4^k$ новых квадратов, сторона каждого из которых равна $a/3^k$. Площадь, добавленная на $k$-м шаге, составляет: $\Delta S_k = 4^k \cdot \left(\frac{a}{3^k}\right)^2 = 4^k \cdot \frac{a^2}{(3^2)^k} = a^2 \left(\frac{4}{9}\right)^k$.

Общая площадь $S_n$ после $n$ преобразований является суммой площади исходного квадрата и площадей, добавленных на каждом шаге с 1-го по $n$-й: $S_n = S_0 + \Delta S_1 + \Delta S_2 + \dots + \Delta S_n = a^2 + a^2\left(\frac{4}{9}\right)^1 + a^2\left(\frac{4}{9}\right)^2 + \dots + a^2\left(\frac{4}{9}\right)^n$.

Это можно записать в виде суммы: $S_n = a^2 \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{4}{9}\right)^k$.

Выражение в скобках является суммой первых $n+1$ членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 4/9$. Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле $\Sigma = b_1 \frac{1-q^k}{1-q}$, где $k$ — количество членов. В нашем случае $k = n+1$. $\Sigma = 1 \cdot \frac{1 - (4/9)^{n+1}}{1 - 4/9} = \frac{1 - (4/9)^{n+1}}{5/9} = \frac{9}{5}\left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right)$.

Таким образом, итоговая формула для площади $S_n$ имеет вид: $S_n = a^2 \cdot \frac{9}{5}\left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right)$.

Ответ: $S_n = \frac{9}{5}a^2 \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right)$.

б)

Для определения предела, к которому стремится площадь $S_n$ при $n \to +\infty$, необходимо вычислить предел выражения для $S_n$, полученного в пункте а).

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left[\frac{9}{5}a^2 \left(1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}\right)\right]$.

Рассмотрим предел члена $\left(\frac{4}{9}\right)^{n+1}$ при $n \to \infty$. Поскольку основание степени $q = 4/9$ по модулю меньше единицы ($|q| < 1$), его предел при $n \to \infty$ равен нулю: $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{9}\right)^{n+1} = 0$.

Подставляя это значение в выражение для предела площади, получаем: $S = \frac{9}{5}a^2 (1 - 0) = \frac{9}{5}a^2$.

Другой способ — представить предельную площадь как сумму бесконечной геометрической прогрессии: $S = a^2 \left(1 + \frac{4}{9} + \left(\frac{4}{9}\right)^2 + \dots \right) = a^2 \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{4}{9}\right)^k$. Так как знаменатель прогрессии $q=4/9$ удовлетворяет условию $|q|<1$, ряд сходится, и его сумма равна $\frac{1}{1-q}$. Сумма ряда составляет $\frac{1}{1-4/9} = \frac{1}{5/9} = \frac{9}{5}$. Следовательно, предельная площадь равна $S = a^2 \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{5}a^2$.

Ответ: $\frac{9}{5}a^2$.