Номер 4.47, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.6. Число е. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.47, страница 142.

4.47 Имеет ли предел переменная $x_n$, если:

а) $x_n = \frac{n}{n+2}$;

б) $x_n = \frac{2n}{n+2}$;

в) $x_n = \frac{3n+1}{n}$;

г) $x_n = \frac{4n-2}{n}$;

д) $x_n = \frac{3n-2}{n+1}$;

е) $x_n = \frac{5n-2}{n+1}$?

а) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{n}{n+2}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $n$ (старшую степень переменной):
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} $.
Так как при $n \to \infty$ выражение $\frac{2}{n}$ стремится к нулю, получаем:
$ \frac{1}{1+0} = 1 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 1.

б) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{2n}{n+2}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Разделим числитель и знаменатель на $n$:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{2}{n}} $.
Поскольку при $n \to \infty$ слагаемое $\frac{2}{n}$ стремится к нулю, получаем:
$ \frac{2}{1+0} = 2 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 2.

в) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{3n+1}{n}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Преобразуем выражение, разделив почленно числитель на знаменатель:
$ x_n = \frac{3n}{n} + \frac{1}{n} = 3 + \frac{1}{n} $.
Теперь найдем предел:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(3 + \frac{1}{n}\right) $.
Так как при $n \to \infty$ слагаемое $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, предел равен:
$ 3 + 0 = 3 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 3.

г) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{4n-2}{n}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Преобразуем выражение, разделив почленно числитель на знаменатель:
$ x_n = \frac{4n}{n} - \frac{2}{n} = 4 - \frac{2}{n} $.
Теперь найдем предел:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left(4 - \frac{2}{n}\right) $.
Поскольку при $n \to \infty$ слагаемое $\frac{2}{n}$ стремится к нулю, предел равен:
$ 4 - 0 = 4 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 4.

д) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{3n-2}{n+1}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Разделим числитель и знаменатель на $n$:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n-2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n}{n} - \frac{2}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n}} $.
Так как при $n \to \infty$ слагаемые $\frac{2}{n}$ и $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю, получаем:
$ \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 3.

е) Чтобы определить, имеет ли переменная $x_n = \frac{5n-2}{n+1}$ предел, найдем предел этой последовательности при $n \to \infty$. Разделим числитель и знаменатель на $n$:
$ \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5n-2}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n} - \frac{2}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n}} $.
Так как при $n \to \infty$ слагаемые $\frac{2}{n}$ и $\frac{1}{n}$ стремятся к нулю, получаем:
$ \frac{5 - 0}{1 + 0} = 5 $.
Предел существует и является конечным числом.
Ответ: Да, имеет. Предел равен 5.