Номер 4.46, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.6. Число е. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.46, страница 142.

4.46° Что такое число $e$?

Число e, также известное как число Эйлера, — это фундаментальная математическая константа, которая играет ключевую роль в математическом анализе, теории вероятностей, физике и многих других областях науки. Наряду с числами $0$, $1$ и $\pi$, число $e$ является одним из самых важных чисел в математике.

Число $e$ является иррациональным (его нельзя представить в виде дроби двух целых чисел) и трансцендентным (не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами). Его приблизительное значение с точностью до 15 знаков после запятой:

$e \approx 2.718281828459045...$

Существует несколько эквивалентных способов определить число $e$.

Определение через предел (Второй замечательный предел)

Этот способ определения исторически связан с задачей о сложном проценте. Представим себе банк, который начисляет 100% годовых. Если положить 1 денежную единицу на счет, то через год сумма станет равной $1 + 1 = 2$.

Теперь представим, что банк начисляет проценты чаще, например, два раза в год по 50%. Тогда через год сумма будет $(1 + \frac{1}{2})^2 = 2.25$.

Если начислять проценты $n$ раз в год (каждый раз по $\frac{100}{n}$%), то итоговая сумма через год будет выражаться формулой $(1 + \frac{1}{n})^n$.

Число $e$ — это предел, к которому стремится эта сумма при бесконечном увеличении частоты начисления процентов ($n \to \infty$), то есть при непрерывном начислении.

Формально это записывается так:

$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

Это выражение известно как второй замечательный предел.

Определение через бесконечный ряд

Число $e$ можно также определить как сумму бесконечного ряда, где слагаемые являются обратными величинами факториалов целых неотрицательных чисел:

$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots$

Поскольку по определению $0! = 1$, ряд выглядит так:

$e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots$

Этот ряд сходится очень быстро, что делает его удобным для вычисления приближенного значения $e$.

Свойства и значение числа e

Уникальность числа $e$ проявляется в его свойствах, особенно в математическом анализе.

1. Основание натурального логарифма. Число $e$ является основанием натурального логарифма ($\ln x$). Натуральный логарифм — это логарифм по основанию $e$. То есть, $\ln(e) = 1$. Геометрически это означает, что площадь под кривой $y = 1/x$ от $x=1$ до $x=e$ в точности равна 1.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = 1$

2. Производная показательной функции. Показательная функция $f(x) = e^x$ обладает уникальным свойством: она равна своей производной.

$\frac{d}{dx}e^x = e^x$

Это означает, что скорость роста функции $e^x$ в любой точке равна значению самой функции в этой точке. Никакая другая показательная функция $a^x$ (где $a \ne e$) не обладает таким свойством. Это делает $e$ "естественным" основанием для описания процессов экспоненциального роста и затухания (например, рост популяции, радиоактивный распад, сложные проценты).

3. Тождество Эйлера. Число $e$ входит в знаменитое тождество Эйлера, которое связывает пять важнейших математических констант:

$e^{i\pi} + 1 = 0$

Это тождество считается одним из самых красивых в математике.

Ответ: Число $e$ — это иррациональная и трансцендентная математическая константа, приблизительно равная $2.71828$. Оно определяется как предел последовательности $(1 + 1/n)^n$ при $n$, стремящемся к бесконечности, или как сумма бесконечного ряда $1/0! + 1/1! + 1/2! + \dots$. Число $e$ является основанием натурального логарифма и играет центральную роль в математическом анализе, так как показательная функция $e^x$ равна своей собственной производной.