Номер 4.51, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.7. Понятие степени с иррациональным показателем. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.51, страница 143.

4.51 Вычислите:

а) $2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{2-\sqrt{3}};

б) $9^{\pi} : 3^{2\pi - 1};

в) $(5^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}};

г) $3^{\sqrt{6}} \cdot 3^{1-\sqrt{6}};

д) $4^{\pi - 2} : 4^{\pi - 3};

е) $(3\sqrt[3]{4})^{3\sqrt{2}}$.

а) Для вычисления выражения $2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{2-\sqrt{3}}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применяя это правило, мы складываем показатели степеней: $2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{2-\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3} + (2-\sqrt{3})} = 2^{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

б) В выражении $9^\pi : 3^{2\pi - 1}$ основания степеней разные. Приведем их к общему основанию 3, зная, что $9 = 3^2$. $9^\pi = (3^2)^\pi = 3^{2\pi}$. Теперь выражение имеет вид $3^{2\pi} : 3^{2\pi - 1}$. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $3^{2\pi} : 3^{2\pi - 1} = 3^{2\pi - (2\pi - 1)} = 3^{2\pi - 2\pi + 1} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

в) Для вычисления выражения $(5^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ применяется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В этом случае показатели степеней перемножаются: $(5^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 5^{(\sqrt{2})^2} = 5^2 = 25$.
Ответ: 25

г) Выражение $3^{\sqrt{6}} \cdot 3^{1-\sqrt{6}}$ вычисляется аналогично пункту а), используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^{\sqrt{6}} \cdot 3^{1-\sqrt{6}} = 3^{\sqrt{6} + (1-\sqrt{6})} = 3^{\sqrt{6} + 1 - \sqrt{6}} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

д) В выражении $4^{\pi - 2} : 4^{\pi - 3}$ используется свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Вычитаем показатели степеней: $4^{\pi - 2} : 4^{\pi - 3} = 4^{(\pi - 2) - (\pi - 3)} = 4^{\pi - 2 - \pi + 3} = 4^1 = 4$.
Ответ: 4

е) Для вычисления $(3^{\sqrt[3]{4}})^{\sqrt[3]{2}}$ используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножая показатели: $(3^{\sqrt[3]{4}})^{\sqrt[3]{2}} = 3^{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}}$. Далее, воспользуемся свойством умножения корней с одинаковым показателем $\sqrt[k]{x} \cdot \sqrt[k]{y} = \sqrt[k]{x \cdot y}$: $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} = 2$. Таким образом, исходное выражение упрощается до $3^2 = 9$.
Ответ: 9