Страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.49 Между какими двумя соседними натуральными числами заключено число $2^{\\sqrt{2}}$?

Для того чтобы найти, между какими двумя соседними натуральными числами находится число $2^{\sqrt{2}}$, необходимо оценить его значение.

1. Сначала определим грубые границы для показателя степени, то есть для $\sqrt{2}$. Известно, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, поэтому можно записать неравенство:

$1 < \sqrt{2} < 2$

2. Поскольку показательная функция $y = 2^x$ является возрастающей (при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается), мы можем применить это свойство к нашему неравенству:

$2^1 < 2^{\sqrt{2}} < 2^2$

Вычислив значения по краям, получаем:

$2 < 2^{\sqrt{2}} < 4$

Из этого неравенства следует, что число $2^{\sqrt{2}}$ больше 2, но меньше 4. Это означает, что оно может находиться либо между 2 и 3, либо между 3 и 4. Чтобы уточнить, необходимо сравнить $2^{\sqrt{2}}$ с числом 3.

3. Для сравнения чисел $2^{\sqrt{2}}$ и 3, возведем оба числа в квадрат. Так как оба числа положительны, знак неравенства между ними будет таким же, как и между их квадратами.

$(2^{\sqrt{2}})^2 = 2^{2\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{4 \cdot 2}} = 2^{\sqrt{8}}$

$3^2 = 9$

4. Теперь задача сводится к сравнению чисел $2^{\sqrt{8}}$ и 9. Сравним показатель степени $\sqrt{8}$ с целым числом. Мы знаем, что $8 < 9$, следовательно, $\sqrt{8} < \sqrt{9}$, что дает нам $\sqrt{8} < 3$.

5. Снова используя свойство возрастания функции $y=2^x$, из неравенства $\sqrt{8} < 3$ получаем:

$2^{\sqrt{8}} < 2^3$

Так как $2^3 = 8$, то $2^{\sqrt{8}} < 8$.

Поскольку $8 < 9$, то тем более $2^{\sqrt{8}} < 9$.

6. Итак, мы показали, что $(2^{\sqrt{2}})^2 < 3^2$. Отсюда следует, что $2^{\sqrt{2}} < 3$.

7. Объединяя полученные результаты ($2 < 2^{\sqrt{2}}$ из пункта 2 и $2^{\sqrt{2}} < 3$ из пункта 6), получаем итоговое двойное неравенство:

$2 < 2^{\sqrt{2}} < 3$

Это означает, что число $2^{\sqrt{2}}$ находится между соседними натуральными числами 2 и 3.

Ответ: число $2^{\sqrt{2}}$ заключено между 2 и 3.

4.50 Постройте неубывающую последовательность, пределом которой является число $2^\pi$ $(\pi = 3,1415926...)$.

Для построения необходимой последовательности мы будем использовать последовательность рациональных чисел, сходящуюся к числу $\pi$. В качестве такой последовательности удобно взять десятичные приближения числа $\pi$ с недостатком.

Пусть $p_n$ — это число $\pi$, округленное до $n$-го знака после запятой в меньшую сторону. Запишем несколько первых членов этой последовательности:

$p_0 = 3$

$p_1 = 3,1$

$p_2 = 3,14$

$p_3 = 3,141$

и так далее. Общий член этой последовательности $\{p_n\}$ для $n = 0, 1, 2, \dots$ можно выразить формулой с использованием функции "пол" (целая часть числа):

$p_n = \frac{\lfloor 10^n \pi \rfloor}{10^n}$

Эта последовательность $\{p_n\}$ обладает двумя важными свойствами:

1. Она является неубывающей. Действительно, при переходе от $p_n$ к $p_{n+1}$ мы либо оставляем $n+1$-й знак десятичного разложения $\pi$ как есть, либо увеличиваем его (если бы он был равен 9, а следующие знаки были бы не все нули, что для $\pi$ не так, но в общем случае возможно для других чисел). Более строго: для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $10\lfloor x \rfloor \le \lfloor 10x \rfloor$. Положив $x = 10^n \pi$, получим $10\lfloor 10^n \pi \rfloor \le \lfloor 10^{n+1} \pi \rfloor$. Разделив обе части на $10^{n+1}$, получим $\frac{\lfloor 10^n \pi \rfloor}{10^n} \le \frac{\lfloor 10^{n+1} \pi \rfloor}{10^{n+1}}$, что означает $p_n \le p_{n+1}$.

2. Она сходится к $\pi$. По построению, $p_n \le \pi < p_n + 10^{-n}$. При $n \to \infty$, $10^{-n} \to 0$, и по теореме о двух милиционерах (сжатой последовательности) $\lim_{n \to \infty} p_n = \pi$.

Теперь определим искомую последовательность $\{a_n\}$ как:

$a_n = 2^{p_n}$

Проверим, удовлетворяет ли последовательность $\{a_n\}$ условиям задачи.

1. Неубывание. Показательная функция $f(x) = 2^x$ с основанием $2 > 1$ является строго возрастающей функцией. Так как последовательность $\{p_n\}$ является неубывающей ($p_n \le p_{n+1}$), то и значения функции для этих членов будут находиться в том же соотношении: $2^{p_n} \le 2^{p_{n+1}}$. Следовательно, $a_n \le a_{n+1}$, и последовательность $\{a_n\}$ является неубывающей.

2. Предел. Показательная функция $f(x) = 2^x$ непрерывна на всей числовой прямой. В силу свойства непрерывности функции, предел функции от сходящейся последовательности аргументов равен значению функции в точке, равной пределу этой последовательности:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 2^{p_n} = 2^{\lim_{n \to \infty} p_n} = 2^\pi$

Таким образом, построенная последовательность $\{a_n\}$ является неубывающей и сходится к $2^\pi$.

Ответ:

Искомой последовательностью является $a_n = 2^{p_n}$, где $p_n$ — это десятичное приближение числа $\pi$ с $n$ знаками после запятой, взятое с недостатком. Общий член последовательности можно записать в виде $a_n = 2^{\frac{\lfloor 10^n \pi \rfloor}{10^n}}$ для $n = 0, 1, 2, \dots$. Первые члены этой последовательности:

$a_0 = 2^3 = 8$

$a_1 = 2^{3,1}$

$a_2 = 2^{3,14}$

$a_3 = 2^{3,141}$

и т.д.

4.51 Вычислите:

а) $2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{2-\sqrt{3}};

б) $9^{\pi} : 3^{2\pi - 1};

в) $(5^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}};

г) $3^{\sqrt{6}} \cdot 3^{1-\sqrt{6}};

д) $4^{\pi - 2} : 4^{\pi - 3};

е) $(3\sqrt[3]{4})^{3\sqrt{2}}$.

а) Для вычисления выражения $2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{2-\sqrt{3}}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применяя это правило, мы складываем показатели степеней: $2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{2-\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3} + (2-\sqrt{3})} = 2^{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

б) В выражении $9^\pi : 3^{2\pi - 1}$ основания степеней разные. Приведем их к общему основанию 3, зная, что $9 = 3^2$. $9^\pi = (3^2)^\pi = 3^{2\pi}$. Теперь выражение имеет вид $3^{2\pi} : 3^{2\pi - 1}$. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $3^{2\pi} : 3^{2\pi - 1} = 3^{2\pi - (2\pi - 1)} = 3^{2\pi - 2\pi + 1} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

в) Для вычисления выражения $(5^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ применяется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В этом случае показатели степеней перемножаются: $(5^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 5^{(\sqrt{2})^2} = 5^2 = 25$.
Ответ: 25

г) Выражение $3^{\sqrt{6}} \cdot 3^{1-\sqrt{6}}$ вычисляется аналогично пункту а), используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^{\sqrt{6}} \cdot 3^{1-\sqrt{6}} = 3^{\sqrt{6} + (1-\sqrt{6})} = 3^{\sqrt{6} + 1 - \sqrt{6}} = 3^1 = 3$.
Ответ: 3

д) В выражении $4^{\pi - 2} : 4^{\pi - 3}$ используется свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Вычитаем показатели степеней: $4^{\pi - 2} : 4^{\pi - 3} = 4^{(\pi - 2) - (\pi - 3)} = 4^{\pi - 2 - \pi + 3} = 4^1 = 4$.
Ответ: 4

е) Для вычисления $(3^{\sqrt[3]{4}})^{\sqrt[3]{2}}$ используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножая показатели: $(3^{\sqrt[3]{4}})^{\sqrt[3]{2}} = 3^{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}}$. Далее, воспользуемся свойством умножения корней с одинаковым показателем $\sqrt[k]{x} \cdot \sqrt[k]{y} = \sqrt[k]{x \cdot y}$: $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} = 2$. Таким образом, исходное выражение упрощается до $3^2 = 9$.
Ответ: 9

4.52 Имеет ли смысл выражение:

а) $0^{\frac{3}{2}}$;

б) $0^{-\frac{1}{3}}$;

в) $0^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$;

г) $0^{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$;

д) $(-2)^{\sqrt{2}}$;

е) $-2^{\sqrt{2}}$;

ж) $3^{\sqrt{3}}$;

з) $-1^{e-\pi}$?

а) Выражение вида $a^x$ при $a=0$ имеет смысл только в том случае, если показатель степени $x > 0$. В данном выражении $0^{\frac{3}{2}}$ основание равно $0$, а показатель степени $\frac{3}{2} > 0$. Следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

б) В выражении $0^{-\frac{1}{3}}$ основание равно $0$, а показатель степени $x = -\frac{1}{3} < 0$. Возведение нуля в отрицательную степень не определено, так как это равносильно делению на ноль: $0^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{0^{1/3}} = \frac{1}{0}$. Следовательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

в) В выражении $0^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ основание равно $0$. Показатель степени $x = \sqrt{2}+\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{2} > 0$ и $\sqrt{3} > 0$, их сумма $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ также положительна. Поскольку показатель степени больше нуля, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

г) В выражении $0^{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ основание равно $0$. Чтобы определить знак показателя степени $x = \sqrt{2}-\sqrt{3}$, сравним числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Так как $2 < 3$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$, и значит $\sqrt{2}-\sqrt{3} < 0$. Поскольку показатель степени отрицателен, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

д) Выражение $(-2)^{\sqrt{2}}$ представляет собой возведение отрицательного числа ($a = -2$) в иррациональную степень ($x = \sqrt{2}$). В области действительных чисел степень с отрицательным основанием определена только для рациональных показателей с нечетным знаменателем. Для иррациональных показателей такое выражение не определено.
Ответ: не имеет смысла.

е) Выражение $-2^{\sqrt{2}}$ следует понимать как $-(2^{\sqrt{2}})$, поскольку операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Выражение $2^{\sqrt{2}}$ имеет смысл, так как основание степени ($a=2$) положительно, а показатель ($\sqrt{2}$) является действительным числом. Следовательно, и всё выражение $-2^{\sqrt{2}}$ имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

ж) В выражении $3^{\sqrt{3}}$ основание степени $a=3$ положительно, а показатель $x=\sqrt{3}$ является действительным числом. Степень с положительным основанием определена для любого действительного показателя. Следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

з) Выражение $-1^{e-\pi}$ следует понимать как $-(1^{e-\pi})$. Основание степени равно $1$. Единица в любой действительной степени равна единице. Так как $e-\pi$ является действительным числом, то $1^{e-\pi}=1$. Соответственно, $-1^{e-\pi}=-1$. Выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.