Номер 4.52, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 4. Степень положительного числа. 4.7. Понятие степени с иррациональным показателем - номер 4.52, страница 143.

Условие.

4.52 Имеет ли смысл выражение:

а) $0^{\frac{3}{2}}$;

б) $0^{-\frac{1}{3}}$;

в) $0^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$;

г) $0^{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$;

д) $(-2)^{\sqrt{2}}$;

е) $-2^{\sqrt{2}}$;

ж) $3^{\sqrt{3}}$;

з) $-1^{e-\pi}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Выражение вида $a^x$ при $a=0$ имеет смысл только в том случае, если показатель степени $x > 0$. В данном выражении $0^{\frac{3}{2}}$ основание равно $0$, а показатель степени $\frac{3}{2} > 0$. Следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

б) В выражении $0^{-\frac{1}{3}}$ основание равно $0$, а показатель степени $x = -\frac{1}{3} < 0$. Возведение нуля в отрицательную степень не определено, так как это равносильно делению на ноль: $0^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{0^{1/3}} = \frac{1}{0}$. Следовательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

в) В выражении $0^{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ основание равно $0$. Показатель степени $x = \sqrt{2}+\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{2} > 0$ и $\sqrt{3} > 0$, их сумма $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ также положительна. Поскольку показатель степени больше нуля, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

г) В выражении $0^{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ основание равно $0$. Чтобы определить знак показателя степени $x = \sqrt{2}-\sqrt{3}$, сравним числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$. Так как $2 < 3$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$, и значит $\sqrt{2}-\sqrt{3} < 0$. Поскольку показатель степени отрицателен, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

д) Выражение $(-2)^{\sqrt{2}}$ представляет собой возведение отрицательного числа ($a = -2$) в иррациональную степень ($x = \sqrt{2}$). В области действительных чисел степень с отрицательным основанием определена только для рациональных показателей с нечетным знаменателем. Для иррациональных показателей такое выражение не определено.
Ответ: не имеет смысла.

е) Выражение $-2^{\sqrt{2}}$ следует понимать как $-(2^{\sqrt{2}})$, поскольку операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Выражение $2^{\sqrt{2}}$ имеет смысл, так как основание степени ($a=2$) положительно, а показатель ($\sqrt{2}$) является действительным числом. Следовательно, и всё выражение $-2^{\sqrt{2}}$ имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

ж) В выражении $3^{\sqrt{3}}$ основание степени $a=3$ положительно, а показатель $x=\sqrt{3}$ является действительным числом. Степень с положительным основанием определена для любого действительного показателя. Следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

з) Выражение $-1^{e-\pi}$ следует понимать как $-(1^{e-\pi})$. Основание степени равно $1$. Единица в любой действительной степени равна единице. Так как $e-\pi$ является действительным числом, то $1^{e-\pi}=1$. Соответственно, $-1^{e-\pi}=-1$. Выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.