Номер 4.55, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.8. Показательная функция. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.55, страница 147.

4.55 Сравните:

а) $3^{3,4}$ и $3^{\pi}$;

б) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{2}$;

в) $3^{1,5}$ и $3^{0}$;

г) $(\frac{3}{4})^{\pi}$ и $1$;

д) $5,7^{5,7}$ и $1$;

е) $0,3^{0,3}$ и $1$;

ж) $0,5^{2}$ и $1$;

з) $2^{0,5}$ и $1$;

и) $\pi^{e}$ и $3,2^{2,8}$.

а) Для сравнения чисел $3^{3,4}$ и $3^\pi$ рассмотрим показательную функцию $y = 3^x$. Основание степени $a = 3$ больше единицы ($a > 1$), следовательно, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней: $3,4$ и $\pi$. Так как $\pi \approx 3,14159...$, то $3,4 > \pi$. Поскольку функция возрастающая, из неравенства $3,4 > \pi$ следует, что $3^{3,4} > 3^\pi$.
Ответ: $3^{3,4} > 3^\pi$.

б) Для сравнения чисел $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{2}$ представим второе число в виде степени: $\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^1$. Рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{1}{2})^x$. Основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414...$, то $\sqrt{2} > 1$. Поскольку функция убывающая, из неравенства $\sqrt{2} > 1$ следует, что $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < (\frac{1}{2})^1$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < \frac{1}{2}$.

в) Для сравнения чисел $3^{1,5}$ и $3^0$ рассмотрим показательную функцию $y = 3^x$. Основание степени $a = 3$ больше единицы ($a > 1$), следовательно, функция является возрастающей. Сравним показатели степеней: $1,5$ и $0$. Так как $1,5 > 0$, то $3^{1,5} > 3^0$.
Ответ: $3^{1,5} > 3^0$.

г) Для сравнения чисел $(\frac{3}{4})^\pi$ и $1$ представим $1$ как степень с основанием $\frac{3}{4}$: $1 = (\frac{3}{4})^0$. Рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{3}{4})^x$. Основание $a = \frac{3}{4}$ находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей. Сравним показатели: $\pi$ и $0$. Так как $\pi > 0$, для убывающей функции получаем $(\frac{3}{4})^\pi < (\frac{3}{4})^0$, то есть $(\frac{3}{4})^\pi < 1$.
Ответ: $(\frac{3}{4})^\pi < 1$.

д) Для сравнения чисел $5,7^{5,7}$ и $1$ воспользуемся свойством показательной функции. Основание степени $a = 5,7$ больше единицы ($a > 1$), а показатель $x = 5,7$ больше нуля ($x > 0$). Для любой возрастающей показательной функции $y = a^x$ (где $a > 1$) при $x > 0$ выполняется неравенство $a^x > a^0$, а так как $a^0 = 1$, то $a^x > 1$. Таким образом, $5,7^{5,7} > 1$.
Ответ: $5,7^{5,7} > 1$.

е) Для сравнения чисел $0,3^{0,3}$ и $1$ воспользуемся свойством показательной функции. Основание степени $a = 0,3$ находится в интервале $(0; 1)$, а показатель $x = 0,3$ больше нуля ($x > 0$). Для любой убывающей показательной функции $y = a^x$ (где $0 < a < 1$) при $x > 0$ выполняется неравенство $a^x < a^0$, а так как $a^0 = 1$, то $a^x < 1$. Таким образом, $0,3^{0,3} < 1$.
Ответ: $0,3^{0,3} < 1$.

ж) Для сравнения чисел $0,5^2$ и $1$ можно провести прямое вычисление: $0,5^2 = 0,25$. Так как $0,25 < 1$, то $0,5^2 < 1$. Либо можно использовать свойства показательной функции: основание $a=0,5$ находится в интервале $(0;1)$, а показатель $x=2 > 0$, следовательно $0,5^2 < 1$.
Ответ: $0,5^2 < 1$.

з) Для сравнения чисел $2^{0,5}$ и $1$ воспользуемся свойством показательной функции. Основание $a = 2$ больше единицы ($a > 1$), а показатель $x = 0,5$ больше нуля ($x > 0$), следовательно $2^{0,5} > 1$. Также можно учесть, что $2^{0,5} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1,414$, что больше $1$.
Ответ: $2^{0,5} > 1$.

и) Для сравнения чисел $\pi^e$ и $3,2^{2,8}$ сравним их основания и показатели. Основания: $\pi \approx 3,14159$ и $3,2$. Очевидно, что $\pi < 3,2$. Показатели: $e \approx 2,71828$ и $2,8$. Очевидно, что $e < 2,8$. Поскольку основание и показатель у числа $\pi^e$ меньше, чем у числа $3,2^{2,8}$, можно предположить, что $\pi^e < 3,2^{2,8}$. Докажем это строго. Рассмотрим показательную функцию $y = \pi^x$. Так как основание $\pi > 1$, функция является возрастающей. Из $e < 2,8$ следует, что $\pi^e < \pi^{2,8}$. Теперь рассмотрим степенную функцию $y = x^{2,8}$ при $x>0$. Так как показатель $2,8 > 0$, функция является возрастающей. Из $\pi < 3,2$ следует, что $\pi^{2,8} < 3,2^{2,8}$. Используя свойство транзитивности неравенств, из $\pi^e < \pi^{2,8}$ и $\pi^{2,8} < 3,2^{2,8}$ получаем $\pi^e < 3,2^{2,8}$.
Ответ: $\pi^e < 3,2^{2,8}$.