Номер 4.54, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.8. Показательная функция. § 4. Степень положительного числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 4.54, страница 147.

4.54 Определите, возрастающей или убывающей является функция:

a) $y = 3^x$;

б) $y = 3,5^x$;

в) $y = \left(\frac{3}{5}\right)^x$;

г) $y = (\sqrt{2})^x$;

д) $y = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^x$;

е) $y = 0,99^x$.

Для определения, является ли показательная функция вида $y = a^x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$.

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

а) $y = 3^x$

Основание показательной функции $a = 3$. Так как $3 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

б) $y = 3,5^x$

Основание показательной функции $a = 3,5$. Так как $3,5 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

в) $y = \left(\frac{3}{5}\right)^x$

Основание показательной функции $a = \frac{3}{5}$. Преобразуем дробь в десятичный вид: $a = 0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

г) $y = (\sqrt{2})^x$

Основание показательной функции $a = \sqrt{2}$. Поскольку $2 > 1$, то и $\sqrt{2} > \sqrt{1}$, следовательно $\sqrt{2} > 1$. Приблизительное значение $a \approx 1,414$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

д) $y = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^x$

Основание показательной функции $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Чтобы сравнить это значение с 1, можно сравнить их квадраты: $a^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Так как $a^2 < 1$ и $a > 0$, то и $a < 1$. Приблизительное значение $a \approx \frac{1,414}{2} = 0,707$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

е) $y = 0,99^x$

Основание показательной функции $a = 0,99$. Так как $0 < 0,99 < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.