Страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

4.53° Перечислите свойства функции $y = a^x$ для:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$.

Какие свойства функции $y = a^x$ являются общими для этих двух случаев?

а) $a > 1$

Перечислим основные свойства показательной функции $y = a^x$ для случая, когда основание $a$ больше единицы ($a > 1$).

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что $x$ может быть любым числом.
• Множество значений: множество всех положительных действительных чисел, $E(y) = (0; +\infty)$. Это означает, что $y$ всегда больше нуля.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения. То есть, для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.
• Пересечение с осями координат:
  • График пересекает ось ординат ($Oy$) в точке $(0; 1)$, так как при $x = 0$, $y = a^0 = 1$.
  • График не пересекает ось абсцисс ($Ox$), так как уравнение $a^x = 0$ не имеет решений (функция всегда положительна). Нулей у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.
• Асимптоты: ось абсцисс ($y = 0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.
• Ограниченность: функция ограничена снизу (числом 0), но не ограничена сверху.
• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Основные свойства функции $y = a^x$ при $a > 1$: область определения — $(-\infty; +\infty)$; множество значений — $(0; +\infty)$; функция является строго возрастающей; проходит через точку $(0; 1)$; непрерывна на всей области определения; не имеет нулей и экстремумов; ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

б) $0 < a < 1$

Перечислим основные свойства показательной функции $y = a^x$ для случая, когда основание $a$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$).

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений: множество всех положительных действительных чисел, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция является строго убывающей на всей области определения. То есть, для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.
• Пересечение с осями координат:
  • График пересекает ось ординат ($Oy$) в точке $(0; 1)$, так как при $x = 0$, $y = a^0 = 1$.
  • График не пересекает ось абсцисс ($Ox$), так как функция всегда положительна. Нулей у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.
• Асимптоты: ось абсцисс ($y = 0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to +\infty$.
• Ограниченность: функция ограничена снизу (числом 0), но не ограничена сверху.
• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: Основные свойства функции $y = a^x$ при $0 < a < 1$: область определения — $(-\infty; +\infty)$; множество значений — $(0; +\infty)$; функция является строго убывающей; проходит через точку $(0; 1)$; непрерывна на всей области определения; не имеет нулей и экстремумов; ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.

Какие свойства функции $y = a^x$ являются общими для этих двух случаев?

Несмотря на различие в монотонности, показательная функция $y=a^x$ (при $a > 0, a \neq 1$) имеет ряд общих свойств как для случая $a>1$, так и для случая $0 < a < 1$.

• Область определения — множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Множество значений — множество всех положительных действительных чисел: $E(y) = (0; +\infty)$.
• График функции всегда проходит через точку $(0; 1)$.
• Функция не имеет нулей (график не пересекает ось $Ox$).
• Функция непрерывна на всей области определения.
• Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой графика.
• Функция не имеет точек экстремума (максимумов или минимумов).
• Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
• Функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Общие свойства функции $y=a^x$ для случаев $a>1$ и $0 < a < 1$: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(y) = (0; +\infty)$; график проходит через точку $(0; 1)$; функция непрерывна; ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой; функция не имеет нулей и экстремумов.

4.54 Определите, возрастающей или убывающей является функция:

a) $y = 3^x$;

б) $y = 3,5^x$;

в) $y = \left(\frac{3}{5}\right)^x$;

г) $y = (\sqrt{2})^x$;

д) $y = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^x$;

е) $y = 0,99^x$.

Для определения, является ли показательная функция вида $y = a^x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$.

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

а) $y = 3^x$

Основание показательной функции $a = 3$. Так как $3 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

б) $y = 3,5^x$

Основание показательной функции $a = 3,5$. Так как $3,5 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

в) $y = \left(\frac{3}{5}\right)^x$

Основание показательной функции $a = \frac{3}{5}$. Преобразуем дробь в десятичный вид: $a = 0,6$. Так как $0 < 0,6 < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

г) $y = (\sqrt{2})^x$

Основание показательной функции $a = \sqrt{2}$. Поскольку $2 > 1$, то и $\sqrt{2} > \sqrt{1}$, следовательно $\sqrt{2} > 1$. Приблизительное значение $a \approx 1,414$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

д) $y = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^x$

Основание показательной функции $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Чтобы сравнить это значение с 1, можно сравнить их квадраты: $a^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Так как $a^2 < 1$ и $a > 0$, то и $a < 1$. Приблизительное значение $a \approx \frac{1,414}{2} = 0,707$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

е) $y = 0,99^x$

Основание показательной функции $a = 0,99$. Так как $0 < 0,99 < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

4.55 Сравните:

а) $3^{3,4}$ и $3^{\pi}$;

б) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{2}$;

в) $3^{1,5}$ и $3^{0}$;

г) $(\frac{3}{4})^{\pi}$ и $1$;

д) $5,7^{5,7}$ и $1$;

е) $0,3^{0,3}$ и $1$;

ж) $0,5^{2}$ и $1$;

з) $2^{0,5}$ и $1$;

и) $\pi^{e}$ и $3,2^{2,8}$.

а) Для сравнения чисел $3^{3,4}$ и $3^\pi$ рассмотрим показательную функцию $y = 3^x$. Основание степени $a = 3$ больше единицы ($a > 1$), следовательно, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней: $3,4$ и $\pi$. Так как $\pi \approx 3,14159...$, то $3,4 > \pi$. Поскольку функция возрастающая, из неравенства $3,4 > \pi$ следует, что $3^{3,4} > 3^\pi$.
Ответ: $3^{3,4} > 3^\pi$.

б) Для сравнения чисел $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$ и $\frac{1}{2}$ представим второе число в виде степени: $\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^1$. Рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{1}{2})^x$. Основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,414...$, то $\sqrt{2} > 1$. Поскольку функция убывающая, из неравенства $\sqrt{2} > 1$ следует, что $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < (\frac{1}{2})^1$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < \frac{1}{2}$.

в) Для сравнения чисел $3^{1,5}$ и $3^0$ рассмотрим показательную функцию $y = 3^x$. Основание степени $a = 3$ больше единицы ($a > 1$), следовательно, функция является возрастающей. Сравним показатели степеней: $1,5$ и $0$. Так как $1,5 > 0$, то $3^{1,5} > 3^0$.
Ответ: $3^{1,5} > 3^0$.

г) Для сравнения чисел $(\frac{3}{4})^\pi$ и $1$ представим $1$ как степень с основанием $\frac{3}{4}$: $1 = (\frac{3}{4})^0$. Рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{3}{4})^x$. Основание $a = \frac{3}{4}$ находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, функция является убывающей. Сравним показатели: $\pi$ и $0$. Так как $\pi > 0$, для убывающей функции получаем $(\frac{3}{4})^\pi < (\frac{3}{4})^0$, то есть $(\frac{3}{4})^\pi < 1$.
Ответ: $(\frac{3}{4})^\pi < 1$.

д) Для сравнения чисел $5,7^{5,7}$ и $1$ воспользуемся свойством показательной функции. Основание степени $a = 5,7$ больше единицы ($a > 1$), а показатель $x = 5,7$ больше нуля ($x > 0$). Для любой возрастающей показательной функции $y = a^x$ (где $a > 1$) при $x > 0$ выполняется неравенство $a^x > a^0$, а так как $a^0 = 1$, то $a^x > 1$. Таким образом, $5,7^{5,7} > 1$.
Ответ: $5,7^{5,7} > 1$.

е) Для сравнения чисел $0,3^{0,3}$ и $1$ воспользуемся свойством показательной функции. Основание степени $a = 0,3$ находится в интервале $(0; 1)$, а показатель $x = 0,3$ больше нуля ($x > 0$). Для любой убывающей показательной функции $y = a^x$ (где $0 < a < 1$) при $x > 0$ выполняется неравенство $a^x < a^0$, а так как $a^0 = 1$, то $a^x < 1$. Таким образом, $0,3^{0,3} < 1$.
Ответ: $0,3^{0,3} < 1$.

ж) Для сравнения чисел $0,5^2$ и $1$ можно провести прямое вычисление: $0,5^2 = 0,25$. Так как $0,25 < 1$, то $0,5^2 < 1$. Либо можно использовать свойства показательной функции: основание $a=0,5$ находится в интервале $(0;1)$, а показатель $x=2 > 0$, следовательно $0,5^2 < 1$.
Ответ: $0,5^2 < 1$.

з) Для сравнения чисел $2^{0,5}$ и $1$ воспользуемся свойством показательной функции. Основание $a = 2$ больше единицы ($a > 1$), а показатель $x = 0,5$ больше нуля ($x > 0$), следовательно $2^{0,5} > 1$. Также можно учесть, что $2^{0,5} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1,414$, что больше $1$.
Ответ: $2^{0,5} > 1$.

и) Для сравнения чисел $\pi^e$ и $3,2^{2,8}$ сравним их основания и показатели. Основания: $\pi \approx 3,14159$ и $3,2$. Очевидно, что $\pi < 3,2$. Показатели: $e \approx 2,71828$ и $2,8$. Очевидно, что $e < 2,8$. Поскольку основание и показатель у числа $\pi^e$ меньше, чем у числа $3,2^{2,8}$, можно предположить, что $\pi^e < 3,2^{2,8}$. Докажем это строго. Рассмотрим показательную функцию $y = \pi^x$. Так как основание $\pi > 1$, функция является возрастающей. Из $e < 2,8$ следует, что $\pi^e < \pi^{2,8}$. Теперь рассмотрим степенную функцию $y = x^{2,8}$ при $x>0$. Так как показатель $2,8 > 0$, функция является возрастающей. Из $\pi < 3,2$ следует, что $\pi^{2,8} < 3,2^{2,8}$. Используя свойство транзитивности неравенств, из $\pi^e < \pi^{2,8}$ и $\pi^{2,8} < 3,2^{2,8}$ получаем $\pi^e < 3,2^{2,8}$.
Ответ: $\pi^e < 3,2^{2,8}$.

4.56 В одной системе координат постройте графики функций $y = 2^x$ и $y = 4^x$. При каких значениях $x$ точки первого графика расположены выше (ниже) соответствующих точек второго графика?

Построение графиков функций $y = 2^x$ и $y = 4^x$

Для построения графиков показательных функций $y = 2^x$ и $y = 4^x$ найдем несколько контрольных точек для каждой из них. Обе функции являются возрастающими, так как их основания (2 и 4) больше 1.

Контрольные точки для графика $y = 2^x$:

• Если $x = -2$, то $y = 2^{-2} = \frac{1}{4}$. Точка $(-2, \frac{1}{4})$.
• Если $x = -1$, то $y = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Точка $(-1, \frac{1}{2})$.
• Если $x = 0$, то $y = 2^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2^1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Контрольные точки для графика $y = 4^x$:

• Если $x = -2$, то $y = 4^{-2} = \frac{1}{16}$. Точка $(-2, \frac{1}{16})$.
• Если $x = -1$, то $y = 4^{-1} = \frac{1}{4}$. Точка $(-1, \frac{1}{4})$.
• Если $x = 0$, то $y = 4^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 4^1 = 4$. Точка $(1, 4)$.
• Если $x = 2$, то $y = 4^2 = 16$. Точка $(2, 16)$.

Оба графика проходят через точку $(0, 1)$, где они пересекаются. При $x > 0$ график $y=4^x$ растет быстрее и находится выше графика $y=2^x$. При $x < 0$ график $y=2^x$ находится выше графика $y=4^x$.

При каких значениях x точки первого графика расположены выше соответствующих точек второго графика?

Чтобы найти, при каких значениях $x$ точки графика функции $y=2^x$ расположены выше точек графика функции $y=4^x$, необходимо решить неравенство:

$2^x > 4^x$

Представим $4^x$ как степень с основанием 2:

$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

Теперь неравенство имеет вид:

$2^x > 2^{2x}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=a^t$ при $a>1$ является возрастающей. Это значит, что для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$x > 2x$

Решим это линейное неравенство:

$x - 2x > 0$

$-x > 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < 0$

Ответ: при $x < 0$ или $x \in (-\infty; 0)$.

При каких значениях x точки первого графика расположены ниже соответствующих точек второго графика?

Чтобы найти, при каких значениях $x$ точки графика функции $y=2^x$ расположены ниже точек графика функции $y=4^x$, необходимо решить неравенство:

$2^x < 4^x$

Используя преобразование $4^x = 2^{2x}$, получаем:

$2^x < 2^{2x}$

Так как основание степени $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x < 2x$

Решим это неравенство:

$0 < 2x - x$

$0 < x$

Таким образом, $x > 0$.

Ответ: при $x > 0$ или $x \in (0; +\infty)$.

4.57 В одной системе координат постройте графики функций $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ и $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$. При каких значениях x точки первого графика расположены выше (ниже) соответствующих точек второго графика?

Для решения этой задачи мы сначала построим графики обеих функций в одной системе координат, а затем аналитически найдем значения $x$, при которых один график расположен выше или ниже другого.

Построение графиков функций

Рассмотрим две функции: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ (назовем ее первой функцией) и $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ (вторая функция). Обе функции являются показательными с основанием $a$, где $0 < a < 1$. Это означает, что обе функции убывающие.

Найдем несколько ключевых точек для построения графиков:

Для функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$:

• При $x = -2$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.
• При $x = -1$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2^1 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
• При $x = 0$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 1$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 0.5$. Точка $(1, 0.5)$.
• При $x = 2$, $y = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0.25$. Точка $(2, 0.25)$.

Для функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$:

• При $x = -2$, $y = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16$. Точка $(-2, 16)$.
• При $x = -1$, $y = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4^1 = 4$. Точка $(-1, 4)$.
• При $x = 0$, $y = \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 1$, $y = \left(\frac{1}{4}\right)^1 = 0.25$. Точка $(1, 0.25)$.
• При $x = 2$, $y = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 0.0625$. Точка $(2, 0.0625)$.

Оба графика проходят через точку $(0, 1)$, так как любое число в нулевой степени равно единице. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для обоих графиков при $x \to +\infty$. Соединив точки, мы получим два убывающих графика, пересекающихся в точке $(0, 1)$.

Аналитическое решение

Теперь найдем, при каких значениях $x$ точки одного графика лежат выше или ниже другого. Для этого решим соответствующие неравенства.

Точки первого графика расположены выше соответствующих точек второго графика

Это условие означает, что значение функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ должно быть больше значения функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ при одинаковых $x$. Запишем неравенство:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{4}\right)^x$

Приведем правую часть к основанию $\frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$, неравенство принимает вид:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^x$

$\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), при переходе к сравнению показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2x$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$0 < x$

Следовательно, точки первого графика расположены выше точек второго при $x > 0$.

Ответ: $x > 0$ или $x \in (0; +\infty)$.

Точки первого графика расположены ниже соответствующих точек второго графика

Это условие означает, что значение функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ должно быть меньше значения функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ при одинаковых $x$. Запишем неравенство:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{4}\right)^x$

Проводя аналогичные преобразования:

$\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ меньше 1, при переходе к сравнению показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 2x$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$0 > x$

Следовательно, точки первого графика расположены ниже точек второго при $x < 0$.

Ответ: $x < 0$ или $x \in (-\infty; 0)$.

4.58 В одной системе координат постройте графики функций $y = 3^x$ и $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Каким свойством обладают графики этих функций?

Задача состоит из двух частей: построение графиков функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ и определение свойства, связывающего эти графики.

Построение графиков

Для построения графиков обеих показательных функций составим таблицы значений, выбрав несколько удобных значений аргумента $x$.

1. Для функции $y = 3^x$. Это показательная функция с основанием $a = 3$, которое больше 1, следовательно, функция является возрастающей.

2. Для функции $y = (\frac{1}{3})^x$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$, которое находится в интервале $(0, 1)$, следовательно, функция является убывающей.

Нанеся точки из таблиц на координатную плоскость и соединив их плавными кривыми, мы получим графики обеих функций. Оба графика проходят через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближаются к оси абсцисс ($Ox$).

Свойство графиков

Рассмотрим взаимосвязь между двумя функциями. Преобразуем уравнение второй функции, используя свойство степеней $(\frac{1}{a})^n = a^{-n}$:

$y = \left(\frac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$

Пусть первая функция $f(x) = 3^x$, а вторая функция $g(x) = (\frac{1}{3})^x$. Мы показали, что $g(x) = 3^{-x} = f(-x)$.

Равенство $g(x) = f(-x)$ означает, что значение функции $g$ в любой точке $x$ равно значению функции $f$ в точке $-x$. Геометрически это соответствует отражению графика функции $f(x)$ относительно оси ординат ($Oy$).

Таким образом, если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = 3^x$, то $y_0 = 3^{x_0}$. Для графика $y = (\frac{1}{3})^x$ в точке $x = -x_0$ имеем $y = (\frac{1}{3})^{-x_0} = 3^{x_0} = y_0$. Это означает, что точка $(-x_0, y_0)$ принадлежит графику $y = (\frac{1}{3})^x$.

Точки $(x_0, y_0)$ и $(-x_0, y_0)$ симметричны относительно оси $Oy$. Так как это верно для любой точки графика, то и сами графики симметричны.

Ответ: Графики функций $y = 3^x$ и $y = (\frac{1}{3})^x$ симметричны относительно оси ординат ($Oy$).

4.59 Определите графическим способом, сколько корней имеет уравнение $2^x = x^2$.

Чтобы определить количество корней уравнения $2^x = x^2$ графическим способом, нужно построить в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = x^2$. Количество точек пересечения этих графиков будет соответствовать количеству корней данного уравнения.

1. Построение графика функции $y = 2^x$

Это показательная функция. Ее основные свойства:

• Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Область значений — все положительные числа ($y > 0$).
• График проходит через точку $(0, 1)$, так как $2^0 = 1$.
• Функция монотонно возрастает.
• При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (ось OX — горизонтальная асимптота).

Вычислим несколько точек для построения:

• $x = -1, y = 2^{-1} = 0.5$
• $x = 1, y = 2^1 = 2$
• $x = 2, y = 2^2 = 4$
• $x = 4, y = 2^4 = 16$

2. Построение графика функции $y = x^2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ее основные свойства:

• Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
• Область значений — все неотрицательные числа ($y \ge 0$).
• Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
• График симметричен относительно оси OY.

Вычислим несколько точек для построения:

• $x = -1, y = (-1)^2 = 1$
• $x = 1, y = 1^2 = 1$
• $x = 2, y = 2^2 = 4$
• $x = 4, y = 4^2 = 16$

3. Анализ пересечения графиков

Совместим оба графика на одной координатной плоскости и проанализируем их взаимное расположение.

Сразу можно заметить два очевидных решения путем подстановки целых чисел:

• При $x=2$: $2^2 = 4$ и $x^2 = 2^2 = 4$. Точка пересечения $(2, 4)$.
• При $x=4$: $2^4 = 16$ и $x^2 = 4^2 = 16$. Точка пересечения $(4, 16)$.

Таким образом, у нас есть как минимум два корня. Теперь исследуем другие участки:

• При $x > 4$: Показательная функция $y=2^x$ растет быстрее, чем квадратичная $y=x^2$. Их графики больше не пересекутся. Например, при $x=5$ имеем $2^5=32$, а $5^2=25$.
• Между $x=2$ и $x=4$: При $x=3$ имеем $2^3=8$, а $3^2=9$. В этой области график параболы $y=x^2$ проходит выше графика $y=2^x$.
• Между $x=0$ и $x=2$: При $x=1$ имеем $2^1=2$, а $1^2=1$. В этой области график $y=2^x$ проходит выше графика $y=x^2$.
• При $x \le 0$: Рассмотрим поведение функций при отрицательных $x$ и в нуле. При $x=0$, $2^0=1$, а $0^2=0$. То есть, $2^x > x^2$. При $x=-1$, $2^{-1}=0.5$, а $(-1)^2=1$. То есть, $2^x < x^2$. Поскольку обе функции непрерывны, и на отрезке $[-1, 0]$ разность $2^x - x^2$ меняет знак, то по теореме о промежуточном значении на интервале $(-1, 0)$ должен существовать корень. Это и есть третья точка пересечения графиков.

Итак, графический анализ показывает, что графики функций $y = 2^x$ и $y = x^2$ пересекаются в трех точках.

Ответ: 3.

Постройте график функции (4.60—4.61):

4.60 a) $y = 2^x$;

б) $y = 2^{-x}$;

в) $y = 2^{|x|}$;

г) $y = 2^{x+3}$;

д) $y = 2^{-x+3}$;

е) $y = 2^{|x|+3}$;

ж) $y = 2^x - 1$;

з) $y = |2^x - 1|$;

и) $y = |2^{x-1} - 2|$.

а) $y = 2^x$

Это основная показательная функция с основанием $a=2$, где $a > 1$.

Свойства и построение:

• Область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений — все положительные действительные числа: $E(y) = (0, +\infty)$.
• Функция является возрастающей на всей области определения, так как основание $2 > 1$.
• График проходит через точку $(0, 1)$, так как $2^0 = 1$.
• Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика при $x \to -\infty$.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

• при $x = -2$, $y = 2^{-2} = 1/4$;
• при $x = -1$, $y = 2^{-1} = 1/2$;
• при $x = 0$, $y = 2^0 = 1$;
• при $x = 1$, $y = 2^1 = 2$;
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$.

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции. Он представляет собой кривую, которая быстро растет при $x > 0$ и приближается к оси $Ox$ при $x < 0$.

Ответ: График показательной функции $y = 2^x$, проходящий через точку $(0, 1)$, возрастающий на всей числовой оси и имеющий горизонтальную асимптоту $y=0$.

б) $y = 2^{-x}$

Функцию можно представить в виде $y = (1/2)^x$. Это показательная функция с основанием $a=1/2$, где $0 < a < 1$.

Построение через преобразование: График функции $y = 2^{-x}$ можно получить из графика функции $y = 2^x$ (из пункта а)) путем симметричного отражения относительно оси $Oy$. Это происходит потому, что аргумент $x$ заменяется на $-x$.

Свойства:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0, +\infty)$.
• Функция является убывающей на всей области определения.
• График также проходит через точку $(0, 1)$, так как $2^{-0} = 1$.
• Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to +\infty$.

Ключевые точки: $(-2, 4)$, $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$, $(2, 1/4)$.

Ответ: График функции $y = 2^x$, отраженный симметрично относительно оси $Oy$. Это убывающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ с горизонтальной асимптотой $y=0$.

в) $y = 2^{|x|}$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Построение по определению модуля: Раскроем модуль: $y = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2^{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это означает, что:

• При $x \ge 0$ (в правой полуплоскости) график совпадает с графиком функции $y = 2^x$ (из пункта а)).
• При $x < 0$ (в левой полуплоскости) график совпадает с графиком функции $y = 2^{-x}$ (из пункта б)).

Построение через преобразование: Чтобы построить график функции $y=f(|x|)$, нужно взять часть графика $y=f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить ее симметрично относительно оси $Oy$. В нашем случае мы берем часть графика $y=2^x$ при $x \ge 0$ и отражаем ее влево.

График проходит через точку $(0,1)$ и "ломается" в ней: справа от оси $Oy$ он возрастает, а слева — убывает.

Ответ: График, состоящий из двух ветвей, симметричных относительно оси $Oy$. Правая ветвь совпадает с графиком $y=2^x$ при $x \ge 0$, левая ветвь совпадает с графиком $y=2^{-x}$ при $x < 0$. Минимальное значение достигается в точке $(0,1)$.

г) $y = 2^{x+3}$

Построение через преобразование: График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = 2^x$ (пункт а)) с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Ox$. Поскольку к аргументу $x$ прибавляется 3, сдвиг происходит на 3 единицы влево.

Построение: Берем график $y=2^x$ и сдвигаем его целиком на 3 единицы влево.

• Точка $(0, 1)$ на исходном графике переместится в точку $(-3, 1)$.
• Точка $(1, 2)$ переместится в точку $(-2, 2)$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений.

Функция по-прежнему является возрастающей.

Ответ: График функции $y=2^x$, сдвинутый на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

д) $y = 2^{-x+3}$

Преобразуем выражение: $y = 2^{-(x-3)}$.

Построение через преобразование: График этой функции можно получить из графика функции $y = 2^{-x}$ (пункт б)) с помощью параллельного переноса на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Построение: Берем график $y=2^{-x}$ и сдвигаем его целиком на 3 единицы вправо.

• Точка $(0, 1)$ на исходном графике переместится в точку $(3, 1)$.
• Точка $(-1, 2)$ переместится в точку $(2, 2)$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ останется без изменений.

Функция является убывающей.

Ответ: График функции $y=2^{-x}$, сдвинутый на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

е) $y = 2^{|x|+3}$

Эта функция является четной, ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Построение через преобразование: Для построения графика $y=g(|x|)$, где $g(x) = 2^{x+3}$, можно использовать следующее правило: 1. Строим график функции $y=g(x)=2^{x+3}$ (это график из пункта г)). 2. Оставляем ту часть графика, которая находится при $x \ge 0$. 3. Отражаем эту часть симметрично относительно оси $Oy$ на левую полуплоскость.

Пошаговое построение:

• При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция имеет вид $y = 2^{x+3}$. Это возрастающая кривая, часть графика из пункта г). В точке $x=0$ имеем $y=2^3=8$.
• При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция имеет вид $y = 2^{-x+3}$. Это убывающая кривая, часть графика из пункта д).

График состоит из двух ветвей, встречающихся в точке $(0, 8)$. Правая ветвь — это часть графика $y=2^{x+3}$, левая — часть графика $y=2^{-x+3}$.

Ответ: График, симметричный относительно оси $Oy$, с точкой минимума в $(0, 8)$. Правая ветвь — это график $y=2^{x+3}$ для $x \ge 0$, а левая — его зеркальное отражение.

ж) $y = 2^x - 1$

Построение через преобразование: График этой функции получается из графика $y = 2^x$ (пункт а)) путем параллельного переноса (сдвига) на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

Построение: Берем график $y=2^x$ и сдвигаем его целиком на 1 единицу вниз.

• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается вниз и становится прямой $y=-1$.
• Точка $(0, 1)$ смещается в точку $(0, 0)$. График проходит через начало координат.
• Точка $(1, 2)$ смещается в точку $(1, 1)$.

Ответ: График функции $y=2^x$, сдвинутый на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Новая горизонтальная асимптота — $y=-1$.

з) $y = |2^x - 1|$

Построение через преобразование: Для построения графика функции $y=|f(x)|$ нужно сначала построить график $y=f(x)$, а затем часть графика, лежащую ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно оси $Ox$.

Пошаговое построение:

1. Строим график функции $y = 2^x - 1$ (из пункта ж)).
2. Определяем, где $y < 0$: $2^x - 1 < 0 \implies 2^x < 1 \implies x < 0$.
3. Часть графика при $x \ge 0$ остается без изменений. Эта часть начинается в точке $(0, 0)$ и возрастает.
4. Часть графика при $x < 0$, которая находится под осью $Ox$, отражаем симметрично относительно оси $Ox$.
   • Горизонтальная асимптота $y=-1$ для этой части графика превращается в асимптоту $y=1$ (при $x \to -\infty$).
   • Например, точка $(-1, -1/2)$ на графике $y=2^x-1$ становится точкой $(-1, 1/2)$.

Итоговый график состоит из двух частей: $y = 2^x-1$ при $x \ge 0$ и $y = -(2^x-1) = 1-2^x$ при $x < 0$.

Ответ: График функции $y=2^x-1$, у которого часть, лежащая ниже оси абсцисс (при $x<0$), отражена симметрично относительно этой оси. Горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$ — прямая $y=1$.

и) $y = |2^{x-1} - 2|$

Построение этого графика выполним в несколько шагов, используя последовательные преобразования.

Пошаговое построение:

1. Базовый график: $y = 2^x$ (пункт а)).
2. Сдвиг вправо: Строим $y = 2^{x-1}$. Это график $y = 2^x$, сдвинутый на 1 единицу вправо. Он проходит через точку $(1, 1)$, асимптота $y=0$.
3. Сдвиг вниз: Строим $y = 2^{x-1} - 2$. Это график из шага 2, сдвинутый на 2 единицы вниз.
   • Асимптота становится $y=-2$.
   • Точка $(1, 1)$ переходит в $(1, -1)$.
   • График пересекает ось $Ox$ в точке, где $2^{x-1}-2=0 \implies 2^{x-1}=2 \implies x-1=1 \implies x=2$. Точка пересечения — $(2, 0)$.
   • График пересекает ось $Oy$ в точке $x=0$, $y=2^{-1}-2 = 0.5-2 = -1.5$. Точка пересечения — $(0, -1.5)$.
4. Модуль: Строим $y = |2^{x-1} - 2|$. Берем график из шага 3 и отражаем его часть, лежащую ниже оси $Ox$, относительно этой оси.
   • Часть графика, где $y < 0$ (то есть при $x < 2$), отражается вверх.
   • Часть графика, где $y \ge 0$ (то есть при $x \ge 2$), остается на месте.

Итоговый график:

• При $x \ge 2$, график совпадает с $y = 2^{x-1} - 2$. Он начинается в точке $(2, 0)$ и возрастает.
• При $x < 2$, график является отражением, то есть $y = -(2^{x-1} - 2) = 2 - 2^{x-1}$.
  • Горизонтальная асимптота $y=-2$ отражается в асимптоту $y=2$ (при $x \to -\infty$).
  • Точка $(1, -1)$ становится точкой $(1, 1)$.
  • Точка $(0, -1.5)$ становится точкой $(0, 1.5)$.

Ответ: График, полученный из $y=2^{x-1}-2$ отражением его отрицательной части ($x<2$) относительно оси $Ox$. График "ломается" в точке $(2,0)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=2$ при $x \to -\infty$.