Страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.12 a) $log_{\frac{1}{2}} 2;$

б) $log_{\frac{1}{2}} 8^3;$

в) $log_{\frac{1}{2}} 4^2;$

г) $log_3 \frac{1}{3};$

д) $log_3 \left(\frac{1}{9}\right)^3;$

е) $log_4 \left(\frac{1}{16}\right)^5.$

а) Вычислим значение выражения $\log_{\frac{1}{2}} 2$.
Способ 1: По определению логарифма.
Логарифм $\log_b a = c$ — это показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $b$, чтобы получить число $a$. То есть, $b^c = a$.
Пусть $\log_{\frac{1}{2}} 2 = x$. Тогда по определению $(\frac{1}{2})^x = 2$.
Представим $\frac{1}{2}$ как степень числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Уравнение примет вид $(2^{-1})^x = 2^1$, что равносильно $2^{-x} = 2^1$.
Так как основания степеней равны, то равны и их показатели: $-x = 1$, откуда $x = -1$.
Способ 2: Используя свойства логарифмов.
Представим основание логарифма как степень: $\log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{2^{-1}} 2$.
Используем свойство $\log_{b^n} a = \frac{1}{n}\log_b a$.
$\log_{2^{-1}} 2 = \frac{1}{-1}\log_2 2 = -1 \cdot 1 = -1$.
Ответ: -1

б) Вычислим значение выражения $\log_{\frac{1}{2}} 8^3$.
Способ 1: Последовательное применение свойств.
Сначала используем свойство логарифма степени $\log_b (a^p) = p \log_b a$:
$\log_{\frac{1}{2}} 8^3 = 3 \log_{\frac{1}{2}} 8$.
Теперь вычислим $\log_{\frac{1}{2}} 8$. Пусть это будет $x$. Тогда $(\frac{1}{2})^x = 8$.
Представим обе части уравнения как степени числа 2: $(2^{-1})^x = 2^3$, то есть $2^{-x} = 2^3$.
Отсюда $-x=3$, и $x=-3$.
Подставляем найденное значение: $3 \cdot (-3) = -9$.
Способ 2: Приведение к одному основанию.
Представим и основание, и аргумент логарифма как степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$.
Тогда $\log_{\frac{1}{2}} 8^3 = \log_{2^{-1}} 2^9$.
Используем свойство $\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$:
$\log_{2^{-1}} 2^9 = \frac{9}{-1} \log_2 2 = -9 \cdot 1 = -9$.
Ответ: -9

в) Вычислим значение выражения $\log_{\frac{1}{2}} 4^2$.
Способ 1: Последовательное применение свойств.
Используем свойство логарифма степени $\log_b (a^p) = p \log_b a$:
$\log_{\frac{1}{2}} 4^2 = 2 \log_{\frac{1}{2}} 4$.
Вычислим $\log_{\frac{1}{2}} 4$. Пусть $\log_{\frac{1}{2}} 4 = x$. Тогда $(\frac{1}{2})^x = 4$.
Представим обе части как степени числа 2: $(2^{-1})^x = 2^2$, то есть $2^{-x} = 2^2$.
Отсюда $-x=2$, и $x=-2$.
Подставляем найденное значение: $2 \cdot (-2) = -4$.
Способ 2: Приведение к одному основанию.
Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$.
Тогда $\log_{\frac{1}{2}} 4^2 = \log_{2^{-1}} 2^4$.
Используем свойство $\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$:
$\log_{2^{-1}} 2^4 = \frac{4}{-1} \log_2 2 = -4 \cdot 1 = -4$.
Ответ: -4

г) Вычислим значение выражения $\log_3 \frac{1}{3}$.
Способ 1: По определению логарифма.
Пусть $\log_3 \frac{1}{3} = x$. Тогда по определению $3^x = \frac{1}{3}$.
Представим $\frac{1}{3}$ как степень числа 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.
Уравнение примет вид $3^x = 3^{-1}$.
Отсюда $x = -1$.
Способ 2: Используя свойства логарифмов.
Представим аргумент как степень основания: $\log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1}$.
Используя свойство $\log_b b^p = p$, получаем $\log_3 3^{-1} = -1$.
Ответ: -1

д) Вычислим значение выражения $\log_3 (\frac{1}{9})^3$.
Способ 1: Последовательное применение свойств.
Используем свойство логарифма степени $\log_b (a^p) = p \log_b a$:
$\log_3 (\frac{1}{9})^3 = 3 \log_3 \frac{1}{9}$.
Вычислим $\log_3 \frac{1}{9}$. Пусть $\log_3 \frac{1}{9} = x$. Тогда $3^x = \frac{1}{9}$.
Представим $\frac{1}{9}$ как степень числа 3: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Уравнение примет вид $3^x = 3^{-2}$, откуда $x = -2$.
Подставляем найденное значение: $3 \cdot (-2) = -6$.
Способ 2: Упрощение аргумента логарифма.
Представим аргумент логарифма как степень основания 3.
$(\frac{1}{9})^3 = (\frac{1}{3^2})^3 = (3^{-2})^3 = 3^{-6}$.
Тогда $\log_3 (\frac{1}{9})^3 = \log_3 3^{-6}$.
Используя свойство логарифма $\log_b b^p = p$, получаем: $\log_3 3^{-6} = -6$.
Ответ: -6

е) Вычислим значение выражения $\log_4 (\frac{1}{16})^5$.
Способ 1: Последовательное применение свойств.
Используем свойство логарифма степени $\log_b (a^p) = p \log_b a$:
$\log_4 (\frac{1}{16})^5 = 5 \log_4 \frac{1}{16}$.
Вычислим $\log_4 \frac{1}{16}$. Пусть $\log_4 \frac{1}{16} = x$. Тогда $4^x = \frac{1}{16}$.
Представим $\frac{1}{16}$ как степень числа 4: $\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$.
Уравнение примет вид $4^x = 4^{-2}$, откуда $x = -2$.
Подставляем найденное значение: $5 \cdot (-2) = -10$.
Способ 2: Упрощение аргумента логарифма.
Представим аргумент логарифма как степень основания 4.
$(\frac{1}{16})^5 = (\frac{1}{4^2})^5 = (4^{-2})^5 = 4^{-10}$.
Тогда $\log_4 (\frac{1}{16})^5 = \log_4 4^{-10}$.
Используя свойство логарифма $\log_b b^p = p$, получаем: $\log_4 4^{-10} = -10$.
Ответ: -10

5.13 a) $\log_{\sqrt{2}} 2$;

б) $\log_2 \sqrt{2}$;

в) $\log_3 \sqrt[3]{3^3}$;

г) $\log_{\sqrt{3}} \sqrt{27}$;

д) $\log_{\sqrt{5}} 5^3$;

е) $\log_5 \sqrt[5]{5^5}$.

а) Найдем значение выражения $\log_{\sqrt{2}} 2$.

Для этого представим основание логарифма $\sqrt{2}$ и аргумент $2$ в виде степени одного и того же числа. В данном случае это число 2.

Основание: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

Аргумент: $2 = 2^1$.

Подставим эти значения в исходное выражение: $\log_{\sqrt{2}} 2 = \log_{2^{1/2}} 2^1$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{2^{1/2}} 2^1 = \frac{1}{1/2} \log_2 2 = 2 \log_2 2$.

Так как $\log_2 2 = 1$, получаем:

$2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

б) Найдем значение выражения $\log_2 \sqrt{2}$.

Представим аргумент логарифма $\sqrt{2}$ в виде степени с основанием 2:

$\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

Подставим это значение в выражение: $\log_2 \sqrt{2} = \log_2 (2^{1/2})$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_a b^m = m \log_a b$:

$\log_2 (2^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_2 2$.

Так как $\log_2 2 = 1$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Найдем значение выражения $\log_3 \sqrt{3^3}$.

Сначала упростим аргумент логарифма, используя свойство степеней $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$\sqrt{3^3} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$.

Теперь выражение имеет вид: $\log_3 (3^{3/2})$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_a b^m = m \log_a b$:

$\log_3 (3^{3/2}) = \frac{3}{2} \log_3 3$.

Так как $\log_3 3 = 1$, получаем:

$\frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

г) Найдем значение выражения $\log_{\sqrt{3}} \sqrt{27}$.

Представим основание и аргумент логарифма в виде степени одного и того же числа, в данном случае числа 3.

Основание: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.

Аргумент: $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$.

Подставим эти значения в исходное выражение: $\log_{\sqrt{3}} \sqrt{27} = \log_{3^{1/2}} (3^{3/2})$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{3^{1/2}} (3^{3/2}) = \frac{3/2}{1/2} \log_3 3$.

Упростим дробь: $\frac{3/2}{1/2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$.

Так как $\log_3 3 = 1$, получаем:

$3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: 3

д) Найдем значение выражения $\log_{\sqrt{5}} 5^3$.

Представим основание логарифма в виде степени числа 5:

$\sqrt{5} = 5^{1/2}$.

Выражение принимает вид: $\log_{5^{1/2}} 5^3$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{5^{1/2}} 5^3 = \frac{3}{1/2} \log_5 5$.

Упростим дробь: $\frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6$.

Так как $\log_5 5 = 1$, получаем:

$6 \cdot 1 = 6$.

Ответ: 6

е) Найдем значение выражения $\log_5 \sqrt{5^5}$.

Упростим аргумент логарифма, используя свойство степеней $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$\sqrt{5^5} = (5^5)^{1/2} = 5^{5/2}$.

Теперь выражение имеет вид: $\log_5 (5^{5/2})$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_a b^m = m \log_a b$:

$\log_5 (5^{5/2}) = \frac{5}{2} \log_5 5$.

Так как $\log_5 5 = 1$, получаем:

$\frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2}$.

Ответ: $\frac{5}{2}$

5.14 a) $4^{\log_2 3}$;

б) $9^{\log_3 5}$;

В) $49^{\log_7 3}$;

Г) $25^{\log_5 9}$;

Д) $8^{\log_2 7}$;

е) $36^{\log_6 2}$.

а) Для решения данного примера необходимо привести основание степени и основание логарифма к одному и тому же числу. Представим основание степени 4 как $2^2$.
$4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3}$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^2)^{\log_2 3} = 2^{2 \cdot \log_2 3}$
Далее применим свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$2^{2 \cdot \log_2 3} = 2^{\log_2 (3^2)} = 2^{\log_2 9}$
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем окончательный результат:
$2^{\log_2 9} = 9$
Ответ: 9

б) Представим основание степени 9 в виде $3^2$, чтобы оно совпадало с основанием логарифма.
$9^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^2)^{\log_3 5} = 3^{2 \cdot \log_3 5}$
Используя свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$3^{2 \cdot \log_3 5} = 3^{\log_3 (5^2)} = 3^{\log_3 25}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 25} = 25$
Ответ: 25

в) Представим основание степени 49 как $7^2$.
$49^{\log_7 3} = (7^2)^{\log_7 3}$
Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(7^2)^{\log_7 3} = 7^{2 \cdot \log_7 3}$
Применяем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$7^{2 \cdot \log_7 3} = 7^{\log_7 (3^2)} = 7^{\log_7 9}$
Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$7^{\log_7 9} = 9$
Ответ: 9

г) Представим основание степени 25 как $5^2$.
$25^{\log_5 9} = (5^2)^{\log_5 9}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^{\log_5 9} = 5^{2 \cdot \log_5 9}$
По свойству логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$5^{2 \cdot \log_5 9} = 5^{\log_5 (9^2)} = 5^{\log_5 81}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 81} = 81$
Ответ: 81

д) Представим основание степени 8 как $2^3$.
$8^{\log_2 7} = (2^3)^{\log_2 7}$
Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^3)^{\log_2 7} = 2^{3 \cdot \log_2 7}$
Применяем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$2^{3 \cdot \log_2 7} = 2^{\log_2 (7^3)} = 2^{\log_2 343}$
Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 343} = 343$
Ответ: 343

е) Представим основание степени 36 как $6^2$.
$36^{\log_6 2} = (6^2)^{\log_6 2}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(6^2)^{\log_6 2} = 6^{2 \cdot \log_6 2}$
По свойству логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:
$6^{2 \cdot \log_6 2} = 6^{\log_6 (2^2)} = 6^{\log_6 4}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 4} = 4$
Ответ: 4

5.15 а) $2^{\log_{\sqrt{2}} 3}$;

б) $3^{\log_{\sqrt{3}} 7}$;

в) $(\sqrt{3})^{\log_3 5}$;

г) $5^{\log_{\sqrt{5}} 2}$;

д) $6^{\log_{\sqrt{6}} 3}$;

е) $(\sqrt[3]{5})^{\log_5 2}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения $2^{\log_{\sqrt{2}} 3}$, приведем основание степени и основание логарифма к одному числу. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов и степеней.
1. Преобразуем основание логарифма: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
2. Применим свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt{2}} 3 = \log_{2^{1/2}} 3 = \frac{1}{1/2} \log_2 3 = 2 \log_2 3$.
3. Теперь воспользуемся свойством $n \log_a b = \log_a b^n$:
$2 \log_2 3 = \log_2 3^2 = \log_2 9$.
4. Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$2^{\log_{\sqrt{2}} 3} = 2^{\log_2 9}$.
5. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$2^{\log_2 9} = 9$.
Ответ: 9

б) Вычислим значение выражения $3^{\log_{\sqrt{3}} 7}$. Решение аналогично предыдущему пункту.
1. Преобразуем основание логарифма: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
2. Применим свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt{3}} 7 = \log_{3^{1/2}} 7 = \frac{1}{1/2} \log_3 7 = 2 \log_3 7$.
3. Применим свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$2 \log_3 7 = \log_3 7^2 = \log_3 49$.
4. Подставим в исходное выражение:
$3^{\log_{\sqrt{3}} 7} = 3^{\log_3 49}$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 49} = 49$.
Ответ: 49

в) Вычислим значение выражения $(\sqrt{3})^{\log_3 5}$. В этом случае будем преобразовывать основание степени.
1. Представим основание степени в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.
2. Подставим в исходное выражение:
$(\sqrt{3})^{\log_3 5} = (3^{1/2})^{\log_3 5}$.
3. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^{1/2})^{\log_3 5} = 3^{\frac{1}{2} \log_3 5}$.
4. Применим свойство $n \log_a b = \log_a b^n$ к показателю степени:
$\frac{1}{2} \log_3 5 = \log_3 5^{1/2} = \log_3 \sqrt{5}$.
5. Подставим обратно и применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 \sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
Ответ: $\sqrt{5}$

г) Вычислим значение выражения $5^{\log_{\sqrt[3]{5}} 2}$.
1. Преобразуем основание логарифма: $\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$.
2. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt[3]{5}} 2 = \log_{5^{1/3}} 2 = \frac{1}{1/3} \log_5 2 = 3 \log_5 2$.
3. Используем свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$3 \log_5 2 = \log_5 2^3 = \log_5 8$.
4. Подставим в исходное выражение:
$5^{\log_{\sqrt[3]{5}} 2} = 5^{\log_5 8}$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 8} = 8$.
Ответ: 8

д) Вычислим значение выражения $6^{\log_{\sqrt[3]{6}} 3}$. Решение аналогично пункту г).
1. Преобразуем основание логарифма: $\sqrt[3]{6} = 6^{1/3}$.
2. Применим свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_{\sqrt[3]{6}} 3 = \log_{6^{1/3}} 3 = \frac{1}{1/3} \log_6 3 = 3 \log_6 3$.
3. Применим свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:
$3 \log_6 3 = \log_6 3^3 = \log_6 27$.
4. Подставим в исходное выражение:
$6^{\log_{\sqrt[3]{6}} 3} = 6^{\log_6 27}$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 27} = 27$.
Ответ: 27

е) Вычислим значение выражения $(\sqrt[3]{5})^{\log_5 2}$. Решение аналогично пункту в).
1. Представим основание степени в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}$.
2. Подставим в исходное выражение:
$(\sqrt[3]{5})^{\log_5 2} = (5^{1/3})^{\log_5 2}$.
3. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^{1/3})^{\log_5 2} = 5^{\frac{1}{3} \log_5 2}$.
4. Применим свойство $n \log_a b = \log_a b^n$ к показателю степени:
$\frac{1}{3} \log_5 2 = \log_5 2^{1/3} = \log_5 \sqrt[3]{2}$.
5. Подставим обратно и применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 \sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$

5.16 a) $\log_2 \sqrt[3]{16}$;

б) $\log_3 (27\sqrt{3})$;

в) $\log_5 \sqrt{5\sqrt{5}}$;

г) $\log_{\sqrt[3]{\frac{1}{3}}} 9$;

д) $\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt[3]{128\sqrt{2}}$.

a) $log_2 \sqrt[3]{16}$

Для вычисления логарифма необходимо представить его аргумент, $\sqrt[3]{16}$, в виде степени с основанием 2.
Сначала представим число 16 как степень двойки: $16 = 2^4$.
Теперь преобразуем весь аргумент: $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$.
Подставим полученное выражение в логарифм: $log_2 \sqrt[3]{16} = log_2 (2^{\frac{4}{3}})$.
Используя основное свойство логарифма $log_a(a^x) = x$, получаем результат:
$log_2 (2^{\frac{4}{3}}) = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

б) $log_3 (27\sqrt{3})$

Представим аргумент логарифма, $(27\sqrt{3})$, в виде степени с основанием 3.
Разложим множители на степени тройки: $27 = 3^3$ и $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Перемножим их: $27\sqrt{3} = 3^3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{3+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{2}+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{7}{2}}$.
Теперь исходный логарифм выглядит так: $log_3(3^{\frac{7}{2}})$.
По свойству $log_a(a^x) = x$ находим значение:
$log_3(3^{\frac{7}{2}}) = \frac{7}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}$.

в) $log_5 \sqrt{5\sqrt{5}}$

Представим аргумент логарифма, $\sqrt{5\sqrt{5}}$, в виде степени с основанием 5.
Начнем преобразование с внутреннего выражения: $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.
Теперь учтем внешний корень: $\sqrt{5\sqrt{5}} = \sqrt{5^{\frac{3}{2}}} = (5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{4}}$.
Подставляем в логарифм: $log_5 \sqrt{5\sqrt{5}} = log_5(5^{\frac{3}{4}})$.
Используя свойство $log_a(a^x) = x$, получаем:
$log_5(5^{\frac{3}{4}}) = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

г) $log_{\sqrt[3]{\frac{1}{3}}} 9$

Для решения представим основание и аргумент логарифма как степени одного числа, в данном случае числа 3.
Преобразуем основание: $\sqrt[3]{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3^{-1}} = (3^{-1})^{\frac{1}{3}} = 3^{-\frac{1}{3}}$.
Преобразуем аргумент: $9 = 3^2$.
Теперь логарифм имеет вид: $log_{3^{-1/3}} (3^2)$.
Воспользуемся свойством логарифма $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} log_a b$:
$log_{3^{-1/3}} (3^2) = \frac{2}{-\frac{1}{3}} log_3 3 = \frac{2}{-\frac{1}{3}} \cdot 1 = -2 \cdot 3 = -6$.
Ответ: $-6$.

д) $log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt[3]{128\sqrt{2}}$

Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2.
Преобразуем основание: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$.
Преобразуем аргумент. Сначала выражение под корнем: $128\sqrt{2} = 2^7 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{7+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{15}{2}}$.
Теперь извлечем кубический корень: $\sqrt[3]{128\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2^{\frac{15}{2}}} = (2^{\frac{15}{2}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 2^{\frac{15}{6}} = 2^{\frac{5}{2}}$.
Подставляем преобразованные части в логарифм: $log_{2^{-1/2}} (2^{5/2})$.
Используем свойство $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} log_a b$:
$log_{2^{-1/2}} (2^{5/2}) = \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}} log_2 2 = (\frac{5}{2} \cdot (-\frac{2}{1})) \cdot 1 = -5$.
Ответ: $-5$.

5.17 a) $log_6 2 + log_6 3;$

б) $log_8 \frac{8}{7} + log_8 \frac{7}{8};$

в) $log_{15} 5 + log_{15} 3;$

г) $log_4 \frac{2}{3} + log_4 6;$

д) $log_2 \frac{2}{5} + log_2 10;$

е) $log_3 \frac{9}{10} + log_3 30.$

а) Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием используется свойство логарифма произведения: $\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)$.
Применяем это свойство: $\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6(2 \cdot 3) = \log_6 6$.
По определению логарифма, если основание равно логарифмируемому числу, то логарифм равен единице ($\log_a a = 1$).
Следовательно, $\log_6 6 = 1$.
Ответ: 1

б) Используем то же свойство суммы логарифмов:
$\log_8 \frac{8}{7} + \log_8 \frac{7}{8} = \log_8(\frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8}) = \log_8 1$.
Логарифм единицы по любому основанию равен нулю ($\log_a 1 = 0$).
Таким образом, $\log_8 1 = 0$.
Ответ: 0

в) Применяем свойство суммы логарифмов:
$\log_{15} 5 + \log_{15} 3 = \log_{15}(5 \cdot 3) = \log_{15} 15$.
Так как основание логарифма равно логарифмируемому числу, результат равен 1.
$\log_{15} 15 = 1$.
Ответ: 1

г) Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_4 \frac{2}{3} + \log_4 6 = \log_4(\frac{2}{3} \cdot 6) = \log_4(\frac{12}{3}) = \log_4 4$.
По свойству $\log_a a = 1$, получаем $\log_4 4 = 1$.
Ответ: 1

д) Применяем свойство суммы логарифмов:
$\log_2 \frac{2}{5} + \log_2 10 = \log_2(\frac{2}{5} \cdot 10) = \log_2(\frac{20}{5}) = \log_2 4$.
Далее вычисляем значение логарифма. Нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 4. Поскольку $2^2 = 4$, то $\log_2 4 = 2$.
Ответ: 2

е) Используем свойство суммы логарифмов:
$\log_3 \frac{9}{10} + \log_3 30 = \log_3(\frac{9}{10} \cdot 30) = \log_3(9 \cdot 3) = \log_3 27$.
Вычисляем значение логарифма. Нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить 27. Поскольку $3^3 = 27$, то $\log_3 27 = 3$.
Ответ: 3

5.18 a) $ \log_2 6 - \log_2 3; $

в) $ \log_3 36 - \log_3 4; $

д) $ \log_7 \frac{49}{50} - \log_7 \frac{7}{50}; $

б) $ \log_5 75 - \log_5 3; $

г) $ \log_4 48 - \log_4 3; $

е) $ \log_3 \frac{81}{100} - \log_3 \frac{3}{100}. $

а) Для решения данного выражения воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$.
$\log_2 6 - \log_2 3 = \log_2\left(\frac{6}{3}\right) = \log_2 2$.
По определению логарифма, $\log_a a = 1$, следовательно, $\log_2 2 = 1$.
Ответ: 1

б) Применяем то же свойство разности логарифмов:
$\log_5 75 - \log_5 3 = \log_5\left(\frac{75}{3}\right) = \log_5 25$.
Так как $25 = 5^2$, то $\log_5 25 = \log_5(5^2) = 2$.
Ответ: 2

в) Используем свойство разности логарифмов:
$\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3\left(\frac{36}{4}\right) = \log_3 9$.
Так как $9 = 3^2$, то $\log_3 9 = \log_3(3^2) = 2$.
Ответ: 2

г) Используем свойство разности логарифмов:
$\log_4 48 - \log_4 3 = \log_4\left(\frac{48}{3}\right) = \log_4 16$.
Так как $16 = 4^2$, то $\log_4 16 = \log_4(4^2) = 2$.
Ответ: 2

д) Используем свойство разности логарифмов. При делении дробей вторая дробь переворачивается.
$\log_7 \frac{49}{50} - \log_7 \frac{7}{50} = \log_7\left(\frac{49/50}{7/50}\right) = \log_7\left(\frac{49}{50} \cdot \frac{50}{7}\right) = \log_7\left(\frac{49}{7}\right) = \log_7 7$.
По свойству $\log_a a = 1$, получаем $\log_7 7 = 1$.
Ответ: 1

е) Используем свойство разности логарифмов:
$\log_3 \frac{81}{100} - \log_3 \frac{3}{100} = \log_3\left(\frac{81/100}{3/100}\right) = \log_3\left(\frac{81}{100} \cdot \frac{100}{3}\right) = \log_3\left(\frac{81}{3}\right) = \log_3 27$.
Так как $27 = 3^3$, то $\log_3 27 = \log_3(3^3) = 3$.
Ответ: 3

5.19 Используя свойство (3) логарифмов, преобразуйте выражение:

а) $\log_2 3^2$;

б) $\log_4 5^6$;

в) $\log_3 4^5$;

г) $2 \log_2 3$;

д) $3 \log_4 7$;

е) $2 \log_3 4$.

Для решения данной задачи используется свойство логарифма степени, которое часто обозначается как свойство (3) в учебниках:

$ \log_a(b^p) = p \cdot \log_a b $

где $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.

Это свойство позволяет как выносить показатель степени из-под знака логарифма в качестве множителя перед ним (как в заданиях а, б, в), так и выполнять обратное преобразование: вносить множитель перед логарифмом в показатель степени его аргумента (как в заданиях г, д, е).

а) В выражении $ \log_2 3^2 $ показатель степени аргумента $p = 2$. Применяя свойство логарифма степени, выносим показатель 2 в качестве множителя перед логарифмом:

$ \log_2 3^2 = 2 \cdot \log_2 3 $

Ответ: $ 2 \log_2 3 $

б) В выражении $ \log_4 5^6 $ показатель степени аргумента $p = 6$. Выносим его вперед как множитель:

$ \log_4 5^6 = 6 \cdot \log_4 5 $

Ответ: $ 6 \log_4 5 $

в) В выражении $ \log_3 4^5 $ показатель степени аргумента $p = 5$. Аналогично предыдущим примерам, выносим 5 перед логарифмом:

$ \log_3 4^5 = 5 \cdot \log_3 4 $

Ответ: $ 5 \log_3 4 $

г) В выражении $ 2 \log_2 3 $ перед логарифмом стоит множитель $p = 2$. Применим свойство в обратном порядке, внеся множитель 2 в показатель степени аргумента логарифма (числа 3):

$ 2 \log_2 3 = \log_2 3^2 $

Ответ: $ \log_2 3^2 $

д) В выражении $ 3 \log_4 7 $ множитель перед логарифмом равен 3. Вносим его в показатель степени аргумента (числа 7):

$ 3 \log_4 7 = \log_4 7^3 $

Ответ: $ \log_4 7^3 $

е) В выражении $ 2 \log_3 4 $ множитель перед логарифмом равен 2. Вносим его в показатель степени аргумента (числа 4):

$ 2 \log_3 4 = \log_3 4^2 $

Ответ: $ \log_3 4^2 $

5.20 Вычислите:

а) $2 \log_6 2 + \log_6 9;$

б) $\log_5 100 - 2 \log_5 2;$

в) $4 \log_{12} 2 + 2 \log_{12} 3;$

г) $\log_{11} 484 - 2 \log_{11} 2.$

а) $2 \log_6 2 + \log_6 9$

Для решения воспользуемся свойствами логарифмов: свойством степени $n \log_b a = \log_b (a^n)$ и свойством суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$.Сначала преобразуем первое слагаемое по свойству степени: $2 \log_6 2 = \log_6 (2^2) = \log_6 4$.Теперь выражение примет вид: $\log_6 4 + \log_6 9$.Далее, по свойству суммы логарифмов, объединяем их: $\log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36$.Так как основание логарифма равно 6, и $6^2 = 36$, то значение выражения равно 2.

Ответ: 2

б) $\log_5 100 - 2 \log_5 2$

Для решения используем свойства логарифмов: свойство степени $n \log_b a = \log_b (a^n)$ и свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b (a/c)$.Преобразуем вычитаемое по свойству степени: $2 \log_5 2 = \log_5 (2^2) = \log_5 4$.Теперь выражение примет вид: $\log_5 100 - \log_5 4$.Далее, по свойству разности логарифмов, получаем: $\log_5 (100 / 4) = \log_5 25$.Так как основание логарифма равно 5, и $5^2 = 25$, то значение выражения равно 2.

Ответ: 2

в) $4 \log_{12} 2 + 2 \log_{12} 3$

Используем свойство степени логарифма $n \log_b a = \log_b (a^n)$ и свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$.Преобразуем оба слагаемых по свойству степени:$4 \log_{12} 2 = \log_{12} (2^4) = \log_{12} 16$$2 \log_{12} 3 = \log_{12} (3^2) = \log_{12} 9$Теперь выражение имеет вид: $\log_{12} 16 + \log_{12} 9$.Применяем свойство суммы логарифмов: $\log_{12} (16 \cdot 9) = \log_{12} 144$.Так как основание логарифма равно 12, и $12^2 = 144$, то значение выражения равно 2.

Ответ: 2

г) $\log_{11} 484 - 2 \log_{11} 2$

Используем свойство степени $n \log_b a = \log_b (a^n)$ и свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b (a/c)$.Преобразуем вычитаемое по свойству степени: $2 \log_{11} 2 = \log_{11} (2^2) = \log_{11} 4$.Теперь выражение имеет вид: $\log_{11} 484 - \log_{11} 4$.Далее, применяем свойство разности логарифмов: $\log_{11} (484 / 4) = \log_{11} 121$.Так как основание логарифма равно 11, и $11^2 = 121$, то значение выражения равно 2.

Ответ: 2

5.21* Докажите, что для $b > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$ и любого $\gamma (\gamma \ne 0)$

$\log_a b = \log_{a^\gamma} b^\gamma$

Пользуясь указанным свойством, вычислите:

а) $\log_{5^2} 125^2$;

б) $\log_{4^2} 16^2$;

в) $\log_{25^2} 125^2$;

г) $\log_{7^3} 49^3$;

д) $\log_4 8^2$;

е) $\log_{25} 125^2$;

ж) $\log_{100} 10^{2\pi}$;

з) $\log_4 2^e$;

и) $\log_{\sqrt{3}} 9^\pi$.

Сначала докажем тождество $ \log_{a^\gamma} b^\gamma = \log_a b $ для $ b > 0, a > 0, a \neq 1 $ и любого $ \gamma \neq 0 $.
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов, $ \log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x} $, и перейдем к основанию $a$ в левой части доказываемого равенства:
$ \log_{a^\gamma} b^\gamma = \frac{\log_a b^\gamma}{\log_a a^\gamma} $.
Далее применим свойство логарифма степени, $ \log_x y^n = n \log_x y $, к числителю и знаменателю дроби:
$ \frac{\gamma \log_a b}{\gamma \log_a a} $.
Поскольку по определению логарифма $ \log_a a = 1 $, а по условию задачи $ \gamma \neq 0 $, мы можем сократить $ \gamma $:
$ \frac{\gamma \log_a b}{\gamma \cdot 1} = \log_a b $.
Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой: $ \log_{a^\gamma} b^\gamma = \log_a b $. Тождество доказано.

Пользуясь указанным свойством, вычислите:

а) $ \log_{5^2} 125^2 $. Применяя свойство $ \log_{a^\gamma} b^\gamma = \log_a b $ с $ a=5, b=125, \gamma=2 $, получаем: $ \log_{5^2} 125^2 = \log_5 125 $. Так как $ 5^3 = 125 $, то $ \log_5 125 = 3 $. Ответ: 3.

б) $ \log_{4^2} 16^2 $. Применяя свойство с $ a=4, b=16, \gamma=2 $, получаем: $ \log_{4^2} 16^2 = \log_4 16 $. Так как $ 4^2 = 16 $, то $ \log_4 16 = 2 $. Ответ: 2.

в) $ \log_{25^2} 125^2 $. Применяя свойство с $ a=25, b=125, \gamma=2 $, получаем: $ \log_{25^2} 125^2 = \log_{25} 125 $. Для вычисления представим основание и аргумент как степени числа 5: $ \log_{25} 125 = \log_{5^2} 5^3 = \frac{3}{2} $. Ответ: $ \frac{3}{2} $.

г) $ \log_{7^3} 49^3 $. Применяя свойство с $ a=7, b=49, \gamma=3 $, получаем: $ \log_{7^3} 49^3 = \log_7 49 $. Так как $ 7^2 = 49 $, то $ \log_7 49 = 2 $. Ответ: 2.

д) $ \log_4 8^2 $. Для применения свойства представим основание 4 как $ 2^2 $: $ \log_4 8^2 = \log_{2^2} 8^2 $. Теперь, по свойству с $ a=2, b=8, \gamma=2 $, это равно $ \log_2 8 $. Так как $ 2^3 = 8 $, то $ \log_2 8 = 3 $. Ответ: 3.

е) $ \log_{25} 125^2 $. Для применения свойства представим основание 25 как $ 5^2 $: $ \log_{25} 125^2 = \log_{5^2} 125^2 $. Теперь, по свойству с $ a=5, b=125, \gamma=2 $, это равно $ \log_5 125 $. Так как $ 5^3 = 125 $, то $ \log_5 125 = 3 $. Ответ: 3.

ж) $ \log_{100} 10^{2\pi} $. Представим $ 100 = 10^2 $ и $ 10^{2\pi} = (10^\pi)^2 $. Тогда $ \log_{100} 10^{2\pi} = \log_{10^2} (10^\pi)^2 $. По свойству с $ a=10, b=10^\pi, \gamma=2 $, это равно $ \log_{10} 10^\pi = \pi $. Ответ: $ \pi $.

з) $ \log_4 2^e $. Представим $ 4 = 2^2 $ и $ 2^e = (2^{e/2})^2 $. Тогда $ \log_4 2^e = \log_{2^2} (2^{e/2})^2 $. По свойству с $ a=2, b=2^{e/2}, \gamma=2 $, это равно $ \log_2 2^{e/2} = \frac{e}{2} $. Ответ: $ \frac{e}{2} $.

и) $ \log_{\sqrt{3}} 9^\pi $. Воспользуемся свойством в форме $ \log_a b = \log_{a^\gamma} b^\gamma $ с $ \gamma=2 $. Возведем основание и аргумент в квадрат: $ \log_{\sqrt{3}} 9^\pi = \log_{(\sqrt{3})^2} (9^\pi)^2 = \log_3 9^{2\pi} $. Так как $ 9 = 3^2 $, то $ \log_3 (3^2)^{2\pi} = \log_3 3^{4\pi} = 4\pi $. Ответ: $ 4\pi $.