Номер 5.21, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.21, страница 153.

5.21* Докажите, что для $b > 0$, $a > 0$, $a \ne 1$ и любого $\gamma (\gamma \ne 0)$

$\log_a b = \log_{a^\gamma} b^\gamma$

Пользуясь указанным свойством, вычислите:

а) $\log_{5^2} 125^2$;

б) $\log_{4^2} 16^2$;

в) $\log_{25^2} 125^2$;

г) $\log_{7^3} 49^3$;

д) $\log_4 8^2$;

е) $\log_{25} 125^2$;

ж) $\log_{100} 10^{2\pi}$;

з) $\log_4 2^e$;

и) $\log_{\sqrt{3}} 9^\pi$.

Сначала докажем тождество $ \log_{a^\gamma} b^\gamma = \log_a b $ для $ b > 0, a > 0, a \neq 1 $ и любого $ \gamma \neq 0 $.
Воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов, $ \log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x} $, и перейдем к основанию $a$ в левой части доказываемого равенства:
$ \log_{a^\gamma} b^\gamma = \frac{\log_a b^\gamma}{\log_a a^\gamma} $.
Далее применим свойство логарифма степени, $ \log_x y^n = n \log_x y $, к числителю и знаменателю дроби:
$ \frac{\gamma \log_a b}{\gamma \log_a a} $.
Поскольку по определению логарифма $ \log_a a = 1 $, а по условию задачи $ \gamma \neq 0 $, мы можем сократить $ \gamma $:
$ \frac{\gamma \log_a b}{\gamma \cdot 1} = \log_a b $.
Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой: $ \log_{a^\gamma} b^\gamma = \log_a b $. Тождество доказано.

Пользуясь указанным свойством, вычислите:

а) $ \log_{5^2} 125^2 $. Применяя свойство $ \log_{a^\gamma} b^\gamma = \log_a b $ с $ a=5, b=125, \gamma=2 $, получаем: $ \log_{5^2} 125^2 = \log_5 125 $. Так как $ 5^3 = 125 $, то $ \log_5 125 = 3 $. Ответ: 3.

б) $ \log_{4^2} 16^2 $. Применяя свойство с $ a=4, b=16, \gamma=2 $, получаем: $ \log_{4^2} 16^2 = \log_4 16 $. Так как $ 4^2 = 16 $, то $ \log_4 16 = 2 $. Ответ: 2.

в) $ \log_{25^2} 125^2 $. Применяя свойство с $ a=25, b=125, \gamma=2 $, получаем: $ \log_{25^2} 125^2 = \log_{25} 125 $. Для вычисления представим основание и аргумент как степени числа 5: $ \log_{25} 125 = \log_{5^2} 5^3 = \frac{3}{2} $. Ответ: $ \frac{3}{2} $.

г) $ \log_{7^3} 49^3 $. Применяя свойство с $ a=7, b=49, \gamma=3 $, получаем: $ \log_{7^3} 49^3 = \log_7 49 $. Так как $ 7^2 = 49 $, то $ \log_7 49 = 2 $. Ответ: 2.

д) $ \log_4 8^2 $. Для применения свойства представим основание 4 как $ 2^2 $: $ \log_4 8^2 = \log_{2^2} 8^2 $. Теперь, по свойству с $ a=2, b=8, \gamma=2 $, это равно $ \log_2 8 $. Так как $ 2^3 = 8 $, то $ \log_2 8 = 3 $. Ответ: 3.

е) $ \log_{25} 125^2 $. Для применения свойства представим основание 25 как $ 5^2 $: $ \log_{25} 125^2 = \log_{5^2} 125^2 $. Теперь, по свойству с $ a=5, b=125, \gamma=2 $, это равно $ \log_5 125 $. Так как $ 5^3 = 125 $, то $ \log_5 125 = 3 $. Ответ: 3.

ж) $ \log_{100} 10^{2\pi} $. Представим $ 100 = 10^2 $ и $ 10^{2\pi} = (10^\pi)^2 $. Тогда $ \log_{100} 10^{2\pi} = \log_{10^2} (10^\pi)^2 $. По свойству с $ a=10, b=10^\pi, \gamma=2 $, это равно $ \log_{10} 10^\pi = \pi $. Ответ: $ \pi $.

з) $ \log_4 2^e $. Представим $ 4 = 2^2 $ и $ 2^e = (2^{e/2})^2 $. Тогда $ \log_4 2^e = \log_{2^2} (2^{e/2})^2 $. По свойству с $ a=2, b=2^{e/2}, \gamma=2 $, это равно $ \log_2 2^{e/2} = \frac{e}{2} $. Ответ: $ \frac{e}{2} $.

и) $ \log_{\sqrt{3}} 9^\pi $. Воспользуемся свойством в форме $ \log_a b = \log_{a^\gamma} b^\gamma $ с $ \gamma=2 $. Возведем основание и аргумент в квадрат: $ \log_{\sqrt{3}} 9^\pi = \log_{(\sqrt{3})^2} (9^\pi)^2 = \log_3 9^{2\pi} $. Так как $ 9 = 3^2 $, то $ \log_3 (3^2)^{2\pi} = \log_3 3^{4\pi} = 4\pi $. Ответ: $ 4\pi $.