Номер 5.22, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.22, страница 154.

5.22 Выразите через логарифмы по основанию 2 и упростите:

а) $\log_3 5$;

б) $\log_4 8$;

в) $\log_5 9$;

г) $\log_{16} 32$;

д) $\log_4 2$;

е) $\log_8 2$;

ж) $\log_{16} 2$;

з) $\log_{\frac{1}{2}} 2$;

и) $\log_{\frac{1}{4}} 2$;

к) $\log_{\frac{1}{8}} 2$;

л) $\log_{\frac{1}{16}} 2$;

м) $\log_{\frac{1}{32}} 2.

Для решения всех пунктов используется формула перехода к новому основанию логарифма: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В данном случае мы переходим к основанию $c=2$.

а) Применим формулу перехода к основанию 2 для $\log_3 5$: $\log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3}$. Так как числа 3 и 5 не являются степенями 2, дальнейшее упрощение этого выражения невозможно. Ответ: $\frac{\log_2 5}{\log_2 3}$

б) Выразим $\log_4 8$ через логарифм по основанию 2: $\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4}$. Поскольку $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$, то $\log_2 8 = 3$ и $\log_2 4 = 2$. Таким образом, $\log_4 8 = \frac{3}{2}$. Ответ: $\frac{3}{2}$

в) Выразим $\log_5 9$ через логарифм по основанию 2: $\log_5 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 5}$. Учитывая, что $9 = 3^2$, можно упростить числитель, используя свойство логарифма степени $\log_c(b^p) = p \log_c b$: $\log_2 9 = \log_2(3^2) = 2\log_2 3$. Итоговое выражение: $\frac{2\log_2 3}{\log_2 5}$. Ответ: $\frac{2\log_2 3}{\log_2 5}$

г) Выразим $\log_{16} 32$ через логарифм по основанию 2: $\log_{16} 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 16}$. Поскольку $32 = 2^5$ и $16 = 2^4$, то $\log_2 32 = 5$ и $\log_2 16 = 4$. Таким образом, $\log_{16} 32 = \frac{5}{4}$. Ответ: $\frac{5}{4}$

д) Выразим $\log_4 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_4 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 4}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 4 = \log_2(2^2) = 2$, получаем $\log_4 2 = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$

е) Выразим $\log_8 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_8 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 8}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 8 = \log_2(2^3) = 3$, получаем $\log_8 2 = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$

ж) Выразим $\log_{16} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{16} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 16}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 16 = \log_2(2^4) = 4$, получаем $\log_{16} 2 = \frac{1}{4}$. Ответ: $\frac{1}{4}$

з) Выразим $\log_{\frac{1}{2}} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{\frac{1}{2}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{2}}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 \frac{1}{2} = \log_2(2^{-1}) = -1$, получаем $\log_{\frac{1}{2}} 2 = \frac{1}{-1} = -1$. Ответ: $-1$

и) Выразим $\log_{\frac{1}{4}} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{\frac{1}{4}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{4}}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 \frac{1}{4} = \log_2(2^{-2}) = -2$, получаем $\log_{\frac{1}{4}} 2 = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. Ответ: $-\frac{1}{2}$

к) Выразим $\log_{\frac{1}{8}} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{\frac{1}{8}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{8}}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 \frac{1}{8} = \log_2(2^{-3}) = -3$, получаем $\log_{\frac{1}{8}} 2 = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$. Ответ: $-\frac{1}{3}$

л) Выразим $\log_{\frac{1}{16}} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{\frac{1}{16}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{16}}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 \frac{1}{16} = \log_2(2^{-4}) = -4$, получаем $\log_{\frac{1}{16}} 2 = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$. Ответ: $-\frac{1}{4}$

м) Выразим $\log_{\frac{1}{32}} 2$ через логарифм по основанию 2: $\log_{\frac{1}{32}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{32}}$. Зная, что $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 \frac{1}{32} = \log_2(2^{-5}) = -5$, получаем $\log_{\frac{1}{32}} 2 = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$. Ответ: $-\frac{1}{5}$