Номер 5.26, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.26, страница 154.

5.26 a) $\frac{\log_2 3 \cdot \log_3 4}{\log_2 4} \cdot \log_5 25$;

Б) $\frac{\log_2 6 \cdot \log_6 9}{\log_2 9} \cdot 6^{\log_6 5}$;

В) $\log_2 3 \cdot \log_3 2 \cdot 7^{2 \log_7 3}$;

Г) $\log_7 8 \cdot \log_8 7 \cdot 3^{\log_9 49}$.

а) Вычислим значение выражения $\frac{\log_2 3 \cdot \log_3 4}{\log_2 4} \cdot \log_5 25$.
Для начала упростим логарифмы, которые можно легко вычислить:

• $\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$
• $\log_5 25 = \log_5 (5^2) = 2$

Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{\log_2 3 \cdot \log_3 4}{2} \cdot 2$
Сократим множитель 2 в числителе и знаменателе, получим:
$\log_2 3 \cdot \log_3 4$
Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию, которая в данном случае приводит к "цепному правилу" для логарифмов: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4$
Мы уже знаем, что $\log_2 4 = 2$.
Следовательно, значение всего выражения равно 2.

Ответ: 2

б) Вычислим значение выражения $\frac{\log_2 6 \cdot \log_6 9}{\log_2 9} \cdot 6^{\log_6 5}$.
Рассмотрим выражение по частям.
Упростим числитель дроби $\log_2 6 \cdot \log_6 9$, используя "цепное правило" $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:
$\log_2 6 \cdot \log_6 9 = \log_2 9$
Теперь вся дробь принимает вид:
$\frac{\log_2 9}{\log_2 9} = 1$
Упростим второй множитель $6^{\log_6 5}$, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 5} = 5$
Теперь перемножим полученные значения:
$1 \cdot 5 = 5$
Следовательно, значение всего выражения равно 5.

Ответ: 5

в) Вычислим значение выражения $\log_2 3 \cdot \log_3 2 \cdot 7^{2 \log_7 3}$.
Рассмотрим произведение $\log_2 3 \cdot \log_3 2$. Используя свойство $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$, получаем:
$\log_2 3 \cdot \frac{1}{\log_2 3} = 1$
Теперь упростим множитель $7^{2 \log_7 3}$. Сначала используем свойство степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$:
$2 \log_7 3 = \log_7 (3^2) = \log_7 9$
Подставим это в показатель степени:
$7^{\log_7 9}$
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$7^{\log_7 9} = 9$
Наконец, перемножим все полученные результаты:
$1 \cdot 9 = 9$
Следовательно, значение всего выражения равно 9.

Ответ: 9

г) Вычислим значение выражения $\log_7 8 \cdot \log_8 7 \cdot 3^{\log_9 49}$.
Рассмотрим произведение $\log_7 8 \cdot \log_8 7$. По свойству $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ сразу получаем:
$\log_7 8 \cdot \log_8 7 = 1$
Теперь упростим множитель $3^{\log_9 49}$. Основание степени равно 3, а основание логарифма равно 9. Приведем логарифм к основанию 3. Для этого представим основание и аргумент логарифма в виде степеней: $9 = 3^2$ и $49 = 7^2$.
$\log_9 49 = \log_{3^2} 7^2$
Воспользуемся свойством $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{3^2} 7^2 = \frac{2}{2} \log_3 7 = 1 \cdot \log_3 7 = \log_3 7$
Подставим полученный логарифм в выражение:
$3^{\log_9 49} = 3^{\log_3 7}$
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 7} = 7$
Перемножим полученные значения:
$1 \cdot 7 = 7$
Следовательно, значение всего выражения равно 7.

Ответ: 7