Номер 5.27, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.27, страница 154.

5.27* a) $3^{\log_3 \sqrt[4]{9}} + 2^{\frac{1}{\log_{16} 4}}$

б) $3^{\log_{\frac{1}{3}} \frac{3}{2}} + \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{\log_2 3}{\log_2 9}}$

В) $\frac{\log_3 135}{\log_{15} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{405} 3}$

Г) $\frac{3 + \log_{12} 27}{3 - \log_{12} 27} \cdot \log_6 16$

а) $3^{\log_{3}\sqrt[4]{9}} + 2^{\frac{1}{\log_{16}4}}$

Решим по частям. Сначала первое слагаемое. Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$3^{\log_{3}\sqrt[4]{9}} = \sqrt[4]{9}$

Упростим полученное выражение:

$\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3^2} = 3^{2/4} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$

Теперь рассмотрим второе слагаемое. Для показателя степени применим свойство логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.

$\frac{1}{\log_{16}4} = \log_4 16$

Так как $4^2 = 16$, то $\log_4 16 = 2$.

Второе слагаемое равно $2^2 = 4$.

Сложим полученные результаты:

$\sqrt{3} + 4$

Ответ: $4 + \sqrt{3}$

б) $3^{\log_{\frac{1}{3}} \frac{3}{2}} + (\frac{1}{9})^{\frac{\log_2 3}{\log_2 9}}$

Рассмотрим первое слагаемое. Преобразуем основание логарифма в показателе степени: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

$\log_{\frac{1}{3}} \frac{3}{2} = \log_{3^{-1}} \frac{3}{2} = -1 \cdot \log_3 \frac{3}{2} = -\log_3 \frac{3}{2}$

Подставим это в первое слагаемое. Используем свойство $k \log_a b = \log_a b^k$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$3^{-\log_3 \frac{3}{2}} = 3^{\log_3 (\frac{3}{2})^{-1}} = 3^{\log_3 \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$

Теперь рассмотрим второе слагаемое. Упростим показатель степени, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\frac{\log_2 3}{\log_2 9} = \log_9 3$

Так как $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$, то $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.

Второе слагаемое равно $(\frac{1}{9})^{1/2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Сложим результаты:

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Ответ: $1$

в) $\frac{\log_3 135}{\log_{15} 3} - \frac{\log_3 5}{\log_{405} 3}$

Используем свойство $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ для преобразования знаменателей.

$\frac{1}{\log_{15} 3} = \log_3 15$

$\frac{1}{\log_{405} 3} = \log_3 405$

Выражение принимает вид:

$\log_3 135 \cdot \log_3 15 - \log_3 5 \cdot \log_3 405$

Разложим числа 135, 15 и 405 на множители:

$135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$

$15 = 3 \cdot 5$

$405 = 81 \cdot 5 = 3^4 \cdot 5$

Применим свойства логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ и логарифма степени $\log_a b^k = k \log_a b$.

$\log_3 135 = \log_3(3^3 \cdot 5) = \log_3 3^3 + \log_3 5 = 3 + \log_3 5$

$\log_3 15 = \log_3(3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \log_3 5$

$\log_3 405 = \log_3(3^4 \cdot 5) = \log_3 3^4 + \log_3 5 = 4 + \log_3 5$

Подставим эти выражения в исходное. Для удобства введем замену $x = \log_3 5$.

$(3 + x)(1 + x) - x(4 + x)$

Раскроем скобки и упростим:

$(3 + 3x + x + x^2) - (4x + x^2) = (x^2 + 4x + 3) - (4x + x^2) = x^2 + 4x + 3 - 4x - x^2 = 3$

Ответ: $3$

г) $\frac{3 + \log_{12} 27}{3 - \log_{12} 27} \cdot \log_6 16$

Преобразуем дробь. Представим число 3 в виде логарифма с основанием 12: $3 = 3 \cdot \log_{12} 12 = \log_{12} 12^3$.

$\frac{\log_{12} 12^3 + \log_{12} 27}{\log_{12} 12^3 - \log_{12} 27}$

Используем свойства суммы и разности логарифмов:

$\frac{\log_{12} (12^3 \cdot 27)}{\log_{12} (12^3 / 27)} = \frac{\log_{12} (1728 \cdot 27)}{\log_{12} (1728 / 27)} = \frac{\log_{12} 46656}{\log_{12} 64}$

Заметим, что $46656 = 36^3$ и $64=4^3$. Также $12^3 \cdot 27 = (12 \cdot 3)^3 = 36^3$ и $12^3 / 27 = 12^3 / 3^3 = (12/3)^3 = 4^3$.

$\frac{\log_{12} 36^3}{\log_{12} 4^3} = \frac{3 \log_{12} 36}{3 \log_{12} 4} = \frac{\log_{12} 36}{\log_{12} 4}$

По формуле перехода к новому основанию $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$, получаем:

$\frac{\log_{12} 36}{\log_{12} 4} = \log_4 36$

Теперь все выражение имеет вид:

$\log_4 36 \cdot \log_6 16$

Используем формулу перехода к новому основанию, например, к натуральному логарифму, и свойство $\log_a b^k = k \log_a b$:

$\log_4 36 = \log_{2^2} 6^2 = \frac{2}{2} \log_2 6 = \log_2 6$

Теперь все выражение выглядит так:

$\log_2 6 \cdot \log_6 16$

Перейдем к основанию 2 для второго множителя:

$\log_6 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 6} = \frac{4}{\log_2 6}$

Перемножим полученные выражения:

$\log_2 6 \cdot \frac{4}{\log_2 6} = 4$

Ответ: $4$