Номер 5.31, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.3. Логарифмическая функция. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.31, страница 157.

5.31 Для каких $x$ функция $y = \log_a x$ $(0 < a < 1)$:
а) положительна;
б) отрицательна?

а) положительна

Нам нужно найти значения $x$, при которых функция $y = \log_a x$ положительна. Это означает, что мы должны решить неравенство $y > 0$, или:

$\log_a x > 0$

Прежде всего, учтем область определения логарифмической функции: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $x > 0$.

Для решения неравенства представим его правую часть (число 0) в виде логарифма с тем же основанием $a$. Мы знаем, что для любого допустимого основания $a$ ($a > 0, a \ne 1$) справедливо равенство $a^0 = 1$, следовательно, $0 = \log_a 1$.

Теперь наше неравенство принимает вид:

$\log_a x > \log_a 1$

По условию задачи, основание логарифма $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. В этом случае логарифмическая функция $y = \log_a x$ является убывающей. Убывающая функция означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому, при переходе от сравнения логарифмов к сравнению их аргументов, знак неравенства должен быть изменен на противоположный.

Таким образом, из неравенства $\log_a x > \log_a 1$ следует, что:

$x < 1$

Теперь объединим полученное решение с областью определения $x > 0$. Мы получаем систему из двух условий: $x < 1$ и $x > 0$. Решением этой системы является интервал $0 < x < 1$.

Ответ: функция положительна при $x \in (0; 1)$.

б) отрицательна

Теперь найдем значения $x$, при которых функция $y = \log_a x$ отрицательна. Это означает, что мы должны решить неравенство $y < 0$, или:

$\log_a x < 0$

Как и в предыдущем случае, представим 0 как $\log_a 1$. Неравенство примет вид:

$\log_a x < \log_a 1$

Поскольку функция $y = \log_a x$ при $0 < a < 1$ является убывающей, при переходе от логарифмов к их аргументам мы снова меняем знак неравенства на противоположный.

Из неравенства $\log_a x < \log_a 1$ следует, что:

$x > 1$

Это решение удовлетворяет области определения логарифма ($x > 0$).

Ответ: функция отрицательна при $x > 1$, то есть при $x \in (1; +\infty)$.