Номер 5.36, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.3. Логарифмическая функция. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.36, страница 157.

5.36 а) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} (-x)$;

В) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$;

Г) $y = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1)$;

Д) $y = \log_{\frac{1}{2}} (-x - 1)$;

е) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x - 1|$;

ж) $y = |\log_{\frac{1}{2}} x|$;

з) $y = |\log_{\frac{1}{2}} x - 2|$;

и) $y = |\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) - 2|$.

Для решения данной задачи мы будем использовать метод преобразования графиков функций, отталкиваясь от графика основной функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.

а) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Это основная логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{2}$. Поскольку основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Для построения графика определим его основные свойства и найдем несколько ключевых точек:

1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$. Область определения: $(0, +\infty)$.

2. Область значений: $(-\infty, +\infty)$.

3. Асимптота: Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$.

4. Точки для построения:

- Если $x=1$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

- Если $x=2$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$. Точка $(2, -1)$.

- Если $x=4$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$. Точка $(4, -2)$.

- Если $x=\frac{1}{2}$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$. Точка $(\frac{1}{2}, 1)$.

График представляет собой кривую, проходящую через указанные точки, убывающую на всей области определения и приближающуюся к оси $Oy$ при $x \to 0^+$.

Ответ: График базовой логарифмической функции с основанием $\frac{1}{2}$, убывающей на области определения $(0, +\infty)$, с вертикальной асимптотой $x=0$ и проходящей через точку $(1, 0)$.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} (-x)$

График этой функции можно получить из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ путем симметричного отражения относительно оси $Oy$. Это преобразование вида $f(x) \to f(-x)$.

1. Область определения: $-x > 0 \implies x < 0$. Область определения: $(-\infty, 0)$.

2. Асимптота: Вертикальная асимптота остается прежней: $x=0$.

3. Точки для построения: Точки с графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ отражаются симметрично. Например, $(1, 0) \to (-1, 0)$, $(2, -1) \to (-2, -1)$, $(\frac{1}{2}, 1) \to (-\frac{1}{2}, 1)$.

4. Монотонность: Функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, отраженный симметрично относительно оси $Oy$.

в) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \log_{\frac{1}{2}} |-x| = \log_{\frac{1}{2}} |x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Функцию можно представить в виде:

$y = \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} x, & \text{если } x > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} (-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика нужно:

1. Построить график функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ для $x > 0$ (как в пункте а).

2. Отразить построенную часть графика симметрично относительно оси $Oy$, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Область определения: $|x| > 0 \implies x \neq 0$. Область определения: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Асимптота: Вертикальная асимптота $x=0$.

Ответ: График состоит из двух ветвей: графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ для $x>0$ и его симметричного отражения относительно оси $Oy$ для $x<0$.

г) $y = \log_{\frac{1}{2}} (x-1)$

График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ путем сдвига вправо на 1 единицу. Это преобразование вида $f(x) \to f(x-1)$.

1. Область определения: $x-1 > 0 \implies x > 1$. Область определения: $(1, +\infty)$.

2. Асимптота: Вертикальная асимптота также сдвигается на 1 вправо и становится прямой $x=1$.

3. Точки для построения: Каждая точка на графике $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигается на 1 вправо. Например, $(1, 0) \to (2, 0)$, $(2, -1) \to (3, -1)$, $(\frac{1}{2}, 1) \to (\frac{3}{2}, 1)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, сдвинутый на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$.

д) $y = \log_{\frac{1}{2}} (-x-1)$

Преобразуем выражение: $y = \log_{\frac{1}{2}} (-(x+1))$. Построение графика выполняется в два шага:

1. Строим график $y = \log_{\frac{1}{2}} (-x)$ (см. пункт б) – отражение базового графика относительно оси $Oy$.

2. Сдвигаем полученный график на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$. Это преобразование вида $g(x) \to g(x+1)$, где $g(x) = \log_{\frac{1}{2}} (-x)$.

Область определения: $-x-1 > 0 \implies -x > 1 \implies x < -1$. Область определения: $(-\infty, -1)$.

Асимптота: Вертикальная асимптота $x=0$ для $y=\log_{\frac{1}{2}}(-x)$ сдвигается на 1 влево, становясь прямой $x=-1$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, отраженный симметрично относительно оси $Oy$, а затем сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$.

е) $y = \log_{\frac{1}{2}} |x-1|$

Построение этого графика можно выполнить двумя способами:

1. Сдвинуть график $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$ (из пункта в) на 1 единицу вправо.

2. Построить график $y = \log_{\frac{1}{2}} (x-1)$ (из пункта г) для $x>1$ и отразить его симметрично относительно прямой $x=1$.

Функция может быть представлена как:

$y = \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} (x-1), & \text{если } x > 1 \\ \log_{\frac{1}{2}} (-(x-1)), & \text{если } x < 1 \end{cases} = \begin{cases} \log_{\frac{1}{2}} (x-1), & \text{если } x > 1 \\ \log_{\frac{1}{2}} (1-x), & \text{если } x < 1 \end{cases}$

Область определения: $|x-1| > 0 \implies x \neq 1$. Область определения: $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Асимптота: Вертикальная асимптота $x=1$.

Симметрия: График симметричен относительно прямой $x=1$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} |x|$, сдвинутый на 1 единицу вправо. График симметричен относительно прямой $x=1$.

ж) $y = |\log_{\frac{1}{2}} x|$

График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ преобразованием $f(x) \to |f(x)|$. Для построения необходимо:

1. Построить график $y = \log_{\frac{1}{2}} x$.

2. Часть графика, которая находится ниже оси $Ox$ (где $y < 0$), отразить симметрично относительно оси $Ox$.

3. Часть графика, которая находится выше или на оси $Ox$ (где $y \ge 0$), оставить без изменений.

Для $y = \log_{\frac{1}{2}} x$: $y \ge 0$ при $0 < x \le 1$, и $y < 0$ при $x > 1$.

Таким образом, на интервале $(0, 1]$ график $y = |\log_{\frac{1}{2}} x|$ совпадает с графиком $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, а на интервале $(1, +\infty)$ он совпадает с графиком $y = -\log_{\frac{1}{2}} x = \log_2 x$.

Область определения: $(0, +\infty)$.

Область значений: $[0, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, у которого часть, лежащая ниже оси абсцисс, отражена симметрично относительно этой оси.

з) $y = |\log_{\frac{1}{2}} x - 2|$

Построение графика выполняется в несколько шагов:

1. Строим график $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$.

2. Строим график $y_2 = \log_{\frac{1}{2}} x - 2$ путем сдвига графика $y_1$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

- Асимптота $x=0$ сохраняется.

- Точка пересечения с осью $Ox$: $\log_{\frac{1}{2}} x - 2 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}} x = 2 \implies x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Точка $(\frac{1}{4}, 0)$.

3. Строим график $y = |y_2| = |\log_{\frac{1}{2}} x - 2|$. Для этого часть графика $y_2$, лежащую ниже оси $Ox$ (при $x > \frac{1}{4}$), отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигается на 2 единицы вниз, а затем часть полученного графика, лежащая ниже оси абсцисс, отражается симметрично относительно этой оси.

и) $y = |\log_{\frac{1}{2}} (x-1) - 2|$

Это наиболее сложное преобразование, которое выполняется последовательно:

1. Строим базовый график $y_0 = \log_{\frac{1}{2}} x$.

2. Сдвигаем его на 1 единицу вправо: $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} (x-1)$. Асимптота становится $x=1$. Область определения: $x>1$.

3. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вниз: $y_2 = \log_{\frac{1}{2}} (x-1) - 2$.

- Точка пересечения $y_2$ с осью $Ox$: $\log_{\frac{1}{2}} (x-1) - 2 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}} (x-1) = 2 \implies x-1 = \frac{1}{4} \implies x = \frac{5}{4}$. Точка $(\frac{5}{4}, 0)$.

4. Применяем модуль: $y = |y_2| = |\log_{\frac{1}{2}} (x-1) - 2|$. Часть графика $y_2$, лежащая ниже оси $Ox$ (при $x > \frac{5}{4}$), отражается симметрично относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигается на 1 единицу вправо и 2 единицы вниз, после чего часть полученного графика, лежащая ниже оси абсцисс, отражается симметрично относительно этой оси.