Номер 5.39, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.4*. Десятичные логарифмы - номер 5.39, страница 159.

Условие.

С помощью таблиц мантисс логарифмов вычислите приближенно (5.39—5.40):

5.39 а) $lg 3,54$;

б) $lg 35,4$;

в) $lg 354$;

г) $lg 0,354$;

д) $lg 0,0354$;

е) $lg 3540$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием характеристики и мантиссы десятичного логарифма. Любое положительное число $N$ можно представить в стандартном виде $N = a \cdot 10^p$, где $1 \le a < 10$, а $p$ — целое число. Тогда его десятичный логарифм вычисляется по формуле: $\lg N = \lg(a \cdot 10^p) = \lg a + \lg 10^p = p + \lg a$.

В этом выражении целое число $p$ называется характеристикой логарифма, а значение $\lg a$ — мантиссой. Мантисса является неотрицательной правильной дробью ($0 \le \lg a < 1$) и зависит только от последовательности значащих цифр числа $N$. Характеристика же зависит от положения десятичной запятой.

Все числа в задании имеют одинаковую последовательность значащих цифр: 3, 5, 4. Это значит, что мантиссы их логарифмов будут одинаковы и равны $\lg 3,54$. По таблице мантисс логарифмов (например, по четырехзначным таблицам Брадиса) находим значение для 3,54:

$\lg 3,54 \approx 0,5490$.

Теперь вычислим логарифм для каждого числа, определяя его характеристику.

а) lg 3,54

Представим число в стандартном виде: $3,54 = 3,54 \cdot 10^0$.

Характеристика $p = 0$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 3,54 = p + m = 0 + 0,5490 = 0,5490$.

Ответ: $\lg 3,54 \approx 0,5490$.

б) lg 35,4

Представим число в стандартном виде: $35,4 = 3,54 \cdot 10^1$.

Характеристика $p = 1$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 35,4 = p + m = 1 + 0,5490 = 1,5490$.

Ответ: $\lg 35,4 \approx 1,5490$.

в) lg 354

Представим число в стандартном виде: $354 = 3,54 \cdot 10^2$.

Характеристика $p = 2$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 354 = p + m = 2 + 0,5490 = 2,5490$.

Ответ: $\lg 354 \approx 2,5490$.

г) lg 0,354

Представим число в стандартном виде: $0,354 = 3,54 \cdot 10^{-1}$.

Характеристика $p = -1$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 0,354 = p + m = -1 + 0,5490 = -0,4510$.

Ответ: $\lg 0,354 \approx -0,4510$.

д) lg 0,0354

Представим число в стандартном виде: $0,0354 = 3,54 \cdot 10^{-2}$.

Характеристика $p = -2$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 0,0354 = p + m = -2 + 0,5490 = -1,4510$.

Ответ: $\lg 0,0354 \approx -1,4510$.

е) lg 3540

Представим число в стандартном виде: $3540 = 3,54 \cdot 10^3$.

Характеристика $p = 3$. Мантисса $m \approx 0,5490$.

$\lg 3540 = p + m = 3 + 0,5490 = 3,5490$.

Ответ: $\lg 3540 \approx 3,5490$.