Номер 5.46, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 5. Логарифмы. 5.5*. Степенные функции - номер 5.46, страница 163.

Условие.

5.46° Какими свойствами обладает функция $y = x^n$, $n \in \mathbb{N}$, если:

а) $n$ — чётное число;

б) $n$ — нечётное число?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) $n$ – чётное число

Если показатель степени $n$ в функции $y = x^n$ является натуральным чётным числом (например, $n=2, 4, 6, \dots$), то функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел $x$. Записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: так как $n$ – чётное число, $x^n$ всегда будет неотрицательным ($x^n \ge 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, область значений функции – это все числа от 0, включая 0, до плюс бесконечности. Записывается как $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Чётность: функция является чётной. Это следует из того, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^n = x^n = y(x)$, поскольку любое число в чётной степени положительно. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

4. Нули функции: значение функции равно нулю только в одной точке. Уравнение $x^n = 0$ имеет единственный корень $x=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.

5. Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x \neq 0$. То есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет точку минимума. Минимальное значение функции $y_{min} = y(0) = 0$. Максимума функция не имеет.

8. Ограниченность: функция ограничена снизу (значением 0), но не ограничена сверху.

9. Непрерывность: как и любая степенная функция с натуральным показателем, она непрерывна на всей области определения.

Ответ: Если $n$ - чётное натуральное число, функция $y=x^n$ является чётной, непрерывной, с областью определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$ и областью значений $E(y)=[0; +\infty)$. Она убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$. Имеет глобальный минимум в точке $(0,0)$. Функция ограничена снизу.

б) $n$ – нечётное число

Если показатель степени $n$ в функции $y = x^n$ является натуральным нечётным числом (например, $n=1, 3, 5, \dots$), то функция обладает следующими свойствами:

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел $x$. Записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: функция может принимать любое действительное значение, как положительное, так и отрицательное. Область значений – все действительные числа. Записывается как $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Чётность: функция является нечётной. Это следует из того, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^n = -x^n = -y(x)$, поскольку нечётная степень сохраняет знак числа. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

4. Нули функции: значение функции равно нулю только в одной точке. Уравнение $x^n = 0$ имеет единственный корень $x=0$. График проходит через начало координат $(0,0)$.

5. Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при $x > 0$ и отрицательные значения ($y < 0$) при $x < 0$.

6. Монотонность: функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

7. Экстремумы: функция не имеет точек экстремума (ни максимумов, ни минимумов). Точка $x=0$ является точкой перегиба.

8. Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

9. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Если $n$ - нечётное натуральное число, функция $y=x^n$ является нечётной, непрерывной, с областью определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$ и областью значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$. Она строго возрастает на всей области определения. Экстремумов не имеет. Функция не является ограниченной.