Номер 5.32, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.3. Логарифмическая функция. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.32, страница 157.

5.32 В одной системе координат постройте графики функций:

a) $y = \log_2 x$ и $y = \log_{\frac{1}{2}} x;$

б) $y = \log_3 x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} x;$

в) $y = \log_4 x$ и $y = \log_{\frac{1}{4}} x.$

Перечислите общие, различные свойства этих двух функций.

В этом задании мы построим графики пар логарифмических функций с взаимно обратными основаниями и сравним их свойства. Основное соотношение, которое мы будем использовать, это свойство логарифма: $ \log_{1/a} x = -\log_a x $. Это означает, что для каждой пары график функции с основанием $1/a$ является зеркальным отражением (симметрией) графика функции с основанием $a$ относительно оси абсцисс (Ox).

а) $y = \log_2 x$ и $y = \log_{1/2} x$

Для построения графиков сначала найдем несколько ключевых точек для каждой функции. График $y = \log_{1/2} x$ будет симметричен графику $y = \log_2 x$ относительно оси Ox.

Таблица значений для $y = \log_2 x$:

• Если $x = 1/4$, то $y = \log_2(1/4) = -2$. Точка (1/4, -2).
• Если $x = 1/2$, то $y = \log_2(1/2) = -1$. Точка (1/2, -1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_2(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 2$, то $y = \log_2(2) = 1$. Точка (2, 1).
• Если $x = 4$, то $y = \log_2(4) = 2$. Точка (4, 2).

Таблица значений для $y = \log_{1/2} x$:

• Если $x = 1/4$, то $y = \log_{1/2}(1/4) = 2$. Точка (1/4, 2).
• Если $x = 1/2$, то $y = \log_{1/2}(1/2) = 1$. Точка (1/2, 1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_{1/2}(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 2$, то $y = \log_{1/2}(2) = -1$. Точка (2, -1).
• Если $x = 4$, то $y = \log_{1/2}(4) = -2$. Точка (4, -2).

Оба графика проходят через точку $(1, 0)$ и имеют вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось Oy).

Ответ:

Общие свойства функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_{1/2} x$:

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нуль функции (точка пересечения с осью Ox): $x = 1$.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$.
• Функции не являются ни четными, ни нечетными (функции общего вида).

Различные свойства функций $y = \log_2 x$ и $y = \log_{1/2} x$:

• Монотонность: функция $y = \log_2 x$ является возрастающей, а функция $y = \log_{1/2} x$ — убывающей на всей области определения.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Для $y = \log_2 x$: $y > 0$ при $x > 1$; $y < 0$ при $0 < x < 1$.
  • Для $y = \log_{1/2} x$: $y > 0$ при $0 < x < 1$; $y < 0$ при $x > 1$.

б) $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$

Аналогично предыдущему пункту, используем соотношение $ \log_{1/3} x = -\log_3 x $. График $y = \log_{1/3} x$ симметричен графику $y = \log_3 x$ относительно оси Ox.

Таблица значений для $y = \log_3 x$:

• Если $x = 1/3$, то $y = \log_3(1/3) = -1$. Точка (1/3, -1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_3(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 3$, то $y = \log_3(3) = 1$. Точка (3, 1).
• Если $x = 9$, то $y = \log_3(9) = 2$. Точка (9, 2).

Таблица значений для $y = \log_{1/3} x$:

• Если $x = 1/3$, то $y = \log_{1/3}(1/3) = 1$. Точка (1/3, 1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_{1/3}(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 3$, то $y = \log_{1/3}(3) = -1$. Точка (3, -1).
• Если $x = 9$, то $y = \log_{1/3}(9) = -2$. Точка (9, -2).

Ответ:

Общие свойства функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$:

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нуль функции: $x = 1$.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$.
• Функции общего вида (не являются ни четными, ни нечетными).

Различные свойства функций $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$:

• Монотонность: функция $y = \log_3 x$ возрастает, а функция $y = \log_{1/3} x$ убывает.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Для $y = \log_3 x$: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (0; 1)$.
  • Для $y = \log_{1/3} x$: $y > 0$ при $x \in (0; 1)$, $y < 0$ при $x \in (1; +\infty)$.

в) $y = \log_4 x$ и $y = \log_{1/4} x$

Используем то же свойство: $ \log_{1/4} x = -\log_4 x $. Графики этих функций симметричны друг другу относительно оси абсцисс.

Таблица значений для $y = \log_4 x$:

• Если $x = 1/4$, то $y = \log_4(1/4) = -1$. Точка (1/4, -1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_4(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 4$, то $y = \log_4(4) = 1$. Точка (4, 1).
• Если $x = 16$, то $y = \log_4(16) = 2$. Точка (16, 2).

Таблица значений для $y = \log_{1/4} x$:

• Если $x = 1/4$, то $y = \log_{1/4}(1/4) = 1$. Точка (1/4, 1).
• Если $x = 1$, то $y = \log_{1/4}(1) = 0$. Точка (1, 0).
• Если $x = 4$, то $y = \log_{1/4}(4) = -1$. Точка (4, -1).
• Если $x = 16$, то $y = \log_{1/4}(16) = -2$. Точка (16, -2).

Ответ:

Общие свойства функций $y = \log_4 x$ и $y = \log_{1/4} x$:

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Точка пересечения с осью Ox: $(1; 0)$.
• Вертикальная асимптота: $x = 0$.
• Функции не являются ни четными, ни нечетными.

Различные свойства функций $y = \log_4 x$ и $y = \log_{1/4} x$:

• Монотонность: $y = \log_4 x$ — возрастающая функция; $y = \log_{1/4} x$ — убывающая функция.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Для $y = \log_4 x$: положительна при $x > 1$ и отрицательна при $0 < x < 1$.
  • Для $y = \log_{1/4} x$: положительна при $0 < x < 1$ и отрицательна при $x > 1$.