Номер 5.25, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.25, страница 154.

Вычислите (5.25–5.27):

5.25 a) $6^{\log_{36} 25}$;

б) $7^{\log_{49} 36}$;

в) $4^{\frac{1}{2 \log_{625} 16}}$.

а) $6^{\log_{36} 25}$

Для решения этого выражения необходимо привести основание степени ($6$) и основание логарифма ($36$) к одному и тому же числу, чтобы можно было применить основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

1. Представим основание логарифма $36$ как степень числа $6$:

$36 = 6^2$

2. Преобразуем показатель степени, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:

$\log_{36} 25 = \log_{6^2} 25 = \frac{1}{2} \log_6 25$

3. Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$6^{\log_{36} 25} = 6^{\frac{1}{2} \log_6 25}$

4. Воспользуемся свойством логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$, чтобы внести множитель $\frac{1}{2}$ под знак логарифма в качестве показателя степени:

$6^{\frac{1}{2} \log_6 25} = 6^{\log_6 (25^{\frac{1}{2}})}$

5. Вычислим значение $25^{\frac{1}{2}}$:

$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

6. Теперь выражение имеет вид:

$6^{\log_6 5}$

7. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$6^{\log_6 5} = 5$

Ответ: 5

б) $7^{\log_{49} 36}$

Данное выражение решается аналогично предыдущему. Приведем основание степени ($7$) и основание логарифма ($49$) к общему основанию.

1. Заметим, что $49 = 7^2$.

2. Преобразуем логарифм в показателе степени, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:

$\log_{49} 36 = \log_{7^2} 36 = \frac{1}{2} \log_7 36$

3. Подставим это в исходное выражение:

$7^{\log_{49} 36} = 7^{\frac{1}{2} \log_7 36}$

4. Используем свойство $k \log_a b = \log_a (b^k)$:

$7^{\frac{1}{2} \log_7 36} = 7^{\log_7 (36^{\frac{1}{2}})}$

5. Вычислим значение $36^{\frac{1}{2}}$:

$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$

6. Выражение упрощается до:

$7^{\log_7 6}$

7. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:

$7^{\log_7 6} = 6$

Ответ: 6

в) $4^{\frac{1}{2 \log_{625} 16}}$

Для решения этого примера сначала упростим показатель степени.

1. Преобразуем логарифм $\log_{625} 16$. Представим основание $625$ и число под логарифмом $16$ в виде степеней:

$625 = 5^4$

$16 = 4^2$

2. Применим свойство логарифма $\log_{a^k} (b^m) = \frac{m}{k} \log_a b$:

$\log_{625} 16 = \log_{5^4} (4^2) = \frac{2}{4} \log_5 4 = \frac{1}{2} \log_5 4$

3. Подставим полученное значение в показатель степени исходного выражения:

$\frac{1}{2 \log_{625} 16} = \frac{1}{2 \cdot (\frac{1}{2} \log_5 4)} = \frac{1}{\log_5 4}$

4. Теперь используем свойство перехода к другому основанию в виде $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{1}{\log_5 4} = \log_4 5$

5. Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$4^{\log_4 5}$

6. Наконец, применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$4^{\log_4 5} = 5$

Ответ: 5