Номер 5.19, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.19, страница 153.

5.19 Используя свойство (3) логарифмов, преобразуйте выражение:

а) $\log_2 3^2$;

б) $\log_4 5^6$;

в) $\log_3 4^5$;

г) $2 \log_2 3$;

д) $3 \log_4 7$;

е) $2 \log_3 4$.

Для решения данной задачи используется свойство логарифма степени, которое часто обозначается как свойство (3) в учебниках:

$ \log_a(b^p) = p \cdot \log_a b $

где $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.

Это свойство позволяет как выносить показатель степени из-под знака логарифма в качестве множителя перед ним (как в заданиях а, б, в), так и выполнять обратное преобразование: вносить множитель перед логарифмом в показатель степени его аргумента (как в заданиях г, д, е).

а) В выражении $ \log_2 3^2 $ показатель степени аргумента $p = 2$. Применяя свойство логарифма степени, выносим показатель 2 в качестве множителя перед логарифмом:

$ \log_2 3^2 = 2 \cdot \log_2 3 $

Ответ: $ 2 \log_2 3 $

б) В выражении $ \log_4 5^6 $ показатель степени аргумента $p = 6$. Выносим его вперед как множитель:

$ \log_4 5^6 = 6 \cdot \log_4 5 $

Ответ: $ 6 \log_4 5 $

в) В выражении $ \log_3 4^5 $ показатель степени аргумента $p = 5$. Аналогично предыдущим примерам, выносим 5 перед логарифмом:

$ \log_3 4^5 = 5 \cdot \log_3 4 $

Ответ: $ 5 \log_3 4 $

г) В выражении $ 2 \log_2 3 $ перед логарифмом стоит множитель $p = 2$. Применим свойство в обратном порядке, внеся множитель 2 в показатель степени аргумента логарифма (числа 3):

$ 2 \log_2 3 = \log_2 3^2 $

Ответ: $ \log_2 3^2 $

д) В выражении $ 3 \log_4 7 $ множитель перед логарифмом равен 3. Вносим его в показатель степени аргумента (числа 7):

$ 3 \log_4 7 = \log_4 7^3 $

Ответ: $ \log_4 7^3 $

е) В выражении $ 2 \log_3 4 $ множитель перед логарифмом равен 2. Вносим его в показатель степени аргумента (числа 4):

$ 2 \log_3 4 = \log_3 4^2 $

Ответ: $ \log_3 4^2 $