Номер 5.13, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.13, страница 153.

5.13 a) $\log_{\sqrt{2}} 2$;

б) $\log_2 \sqrt{2}$;

в) $\log_3 \sqrt[3]{3^3}$;

г) $\log_{\sqrt{3}} \sqrt{27}$;

д) $\log_{\sqrt{5}} 5^3$;

е) $\log_5 \sqrt[5]{5^5}$.

а) Найдем значение выражения $\log_{\sqrt{2}} 2$.

Для этого представим основание логарифма $\sqrt{2}$ и аргумент $2$ в виде степени одного и того же числа. В данном случае это число 2.

Основание: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

Аргумент: $2 = 2^1$.

Подставим эти значения в исходное выражение: $\log_{\sqrt{2}} 2 = \log_{2^{1/2}} 2^1$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{2^{1/2}} 2^1 = \frac{1}{1/2} \log_2 2 = 2 \log_2 2$.

Так как $\log_2 2 = 1$, получаем:

$2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

б) Найдем значение выражения $\log_2 \sqrt{2}$.

Представим аргумент логарифма $\sqrt{2}$ в виде степени с основанием 2:

$\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

Подставим это значение в выражение: $\log_2 \sqrt{2} = \log_2 (2^{1/2})$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_a b^m = m \log_a b$:

$\log_2 (2^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_2 2$.

Так как $\log_2 2 = 1$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Найдем значение выражения $\log_3 \sqrt{3^3}$.

Сначала упростим аргумент логарифма, используя свойство степеней $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$\sqrt{3^3} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$.

Теперь выражение имеет вид: $\log_3 (3^{3/2})$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_a b^m = m \log_a b$:

$\log_3 (3^{3/2}) = \frac{3}{2} \log_3 3$.

Так как $\log_3 3 = 1$, получаем:

$\frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

г) Найдем значение выражения $\log_{\sqrt{3}} \sqrt{27}$.

Представим основание и аргумент логарифма в виде степени одного и того же числа, в данном случае числа 3.

Основание: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$.

Аргумент: $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$.

Подставим эти значения в исходное выражение: $\log_{\sqrt{3}} \sqrt{27} = \log_{3^{1/2}} (3^{3/2})$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{3^{1/2}} (3^{3/2}) = \frac{3/2}{1/2} \log_3 3$.

Упростим дробь: $\frac{3/2}{1/2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$.

Так как $\log_3 3 = 1$, получаем:

$3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: 3

д) Найдем значение выражения $\log_{\sqrt{5}} 5^3$.

Представим основание логарифма в виде степени числа 5:

$\sqrt{5} = 5^{1/2}$.

Выражение принимает вид: $\log_{5^{1/2}} 5^3$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{5^{1/2}} 5^3 = \frac{3}{1/2} \log_5 5$.

Упростим дробь: $\frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6$.

Так как $\log_5 5 = 1$, получаем:

$6 \cdot 1 = 6$.

Ответ: 6

е) Найдем значение выражения $\log_5 \sqrt{5^5}$.

Упростим аргумент логарифма, используя свойство степеней $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$\sqrt{5^5} = (5^5)^{1/2} = 5^{5/2}$.

Теперь выражение имеет вид: $\log_5 (5^{5/2})$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_a b^m = m \log_a b$:

$\log_5 (5^{5/2}) = \frac{5}{2} \log_5 5$.

Так как $\log_5 5 = 1$, получаем:

$\frac{5}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2}$.

Ответ: $\frac{5}{2}$