Номер 5.10, страница 152 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.10, страница 152.

5.10 Сформулируйте свойства логарифмов положительных чисел, запишите их в виде равенств.

Для логарифмов положительных чисел, где основание логарифма $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, а логарифмируемые числа $x, y$ положительны ($x > 0, y > 0$), справедливы следующие свойства, представленные в виде равенств:

Основное логарифмическое тождество: это равенство, которое напрямую следует из определения логарифма. Оно показывает, что операция возведения в степень с основанием $a$ и операция логарифмирования по основанию $a$ являются взаимно обратными.
Ответ: $a^{\log_a x} = x$

Логарифм произведения: логарифм произведения двух или более положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
Ответ: $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

Логарифм частного: логарифм частного (дроби) двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого (числителя) и делителя (знаменателя).
Ответ: $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$

Логарифм степени: логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм основания степени. Это свойство справедливо для любого действительного показателя степени $p$.
Ответ: $\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x$

Формула перехода к новому основанию: данное свойство позволяет перейти от логарифма по одному основанию ($a$) к логарифму по другому основанию ($b$, где $b > 0, b \neq 1$).
Ответ: $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$

Следствие из формулы перехода к новому основанию: важное частное применение формулы, которое позволяет "перевернуть" логарифм, поменяв местами основание и логарифмируемое число.
Ответ: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

Логарифм единицы: логарифм числа 1 по любому допустимому основанию равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.
Ответ: $\log_a 1 = 0$

Логарифм основания: логарифм числа, равного основанию, всегда равен единице, так как любое число в степени 1 равно самому себе.
Ответ: $\log_a a = 1$