Номер 5.12, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

5.2. Свойства логарифмов. § 5. Логарифмы. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 5.12, страница 153.

5.12 a) $log_{\frac{1}{2}} 2;$

б) $log_{\frac{1}{2}} 8^3;$

в) $log_{\frac{1}{2}} 4^2;$

г) $log_3 \frac{1}{3};$

д) $log_3 \left(\frac{1}{9}\right)^3;$

е) $log_4 \left(\frac{1}{16}\right)^5.$

а) Вычислим значение выражения $\log_{\frac{1}{2}} 2$.
Способ 1: По определению логарифма.
Логарифм $\log_b a = c$ — это показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $b$, чтобы получить число $a$. То есть, $b^c = a$.
Пусть $\log_{\frac{1}{2}} 2 = x$. Тогда по определению $(\frac{1}{2})^x = 2$.
Представим $\frac{1}{2}$ как степень числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Уравнение примет вид $(2^{-1})^x = 2^1$, что равносильно $2^{-x} = 2^1$.
Так как основания степеней равны, то равны и их показатели: $-x = 1$, откуда $x = -1$.
Способ 2: Используя свойства логарифмов.
Представим основание логарифма как степень: $\log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{2^{-1}} 2$.
Используем свойство $\log_{b^n} a = \frac{1}{n}\log_b a$.
$\log_{2^{-1}} 2 = \frac{1}{-1}\log_2 2 = -1 \cdot 1 = -1$.
Ответ: -1

б) Вычислим значение выражения $\log_{\frac{1}{2}} 8^3$.
Способ 1: Последовательное применение свойств.
Сначала используем свойство логарифма степени $\log_b (a^p) = p \log_b a$:
$\log_{\frac{1}{2}} 8^3 = 3 \log_{\frac{1}{2}} 8$.
Теперь вычислим $\log_{\frac{1}{2}} 8$. Пусть это будет $x$. Тогда $(\frac{1}{2})^x = 8$.
Представим обе части уравнения как степени числа 2: $(2^{-1})^x = 2^3$, то есть $2^{-x} = 2^3$.
Отсюда $-x=3$, и $x=-3$.
Подставляем найденное значение: $3 \cdot (-3) = -9$.
Способ 2: Приведение к одному основанию.
Представим и основание, и аргумент логарифма как степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$.
Тогда $\log_{\frac{1}{2}} 8^3 = \log_{2^{-1}} 2^9$.
Используем свойство $\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$:
$\log_{2^{-1}} 2^9 = \frac{9}{-1} \log_2 2 = -9 \cdot 1 = -9$.
Ответ: -9

в) Вычислим значение выражения $\log_{\frac{1}{2}} 4^2$.
Способ 1: Последовательное применение свойств.
Используем свойство логарифма степени $\log_b (a^p) = p \log_b a$:
$\log_{\frac{1}{2}} 4^2 = 2 \log_{\frac{1}{2}} 4$.
Вычислим $\log_{\frac{1}{2}} 4$. Пусть $\log_{\frac{1}{2}} 4 = x$. Тогда $(\frac{1}{2})^x = 4$.
Представим обе части как степени числа 2: $(2^{-1})^x = 2^2$, то есть $2^{-x} = 2^2$.
Отсюда $-x=2$, и $x=-2$.
Подставляем найденное значение: $2 \cdot (-2) = -4$.
Способ 2: Приведение к одному основанию.
Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$.
Тогда $\log_{\frac{1}{2}} 4^2 = \log_{2^{-1}} 2^4$.
Используем свойство $\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$:
$\log_{2^{-1}} 2^4 = \frac{4}{-1} \log_2 2 = -4 \cdot 1 = -4$.
Ответ: -4

г) Вычислим значение выражения $\log_3 \frac{1}{3}$.
Способ 1: По определению логарифма.
Пусть $\log_3 \frac{1}{3} = x$. Тогда по определению $3^x = \frac{1}{3}$.
Представим $\frac{1}{3}$ как степень числа 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.
Уравнение примет вид $3^x = 3^{-1}$.
Отсюда $x = -1$.
Способ 2: Используя свойства логарифмов.
Представим аргумент как степень основания: $\log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1}$.
Используя свойство $\log_b b^p = p$, получаем $\log_3 3^{-1} = -1$.
Ответ: -1

д) Вычислим значение выражения $\log_3 (\frac{1}{9})^3$.
Способ 1: Последовательное применение свойств.
Используем свойство логарифма степени $\log_b (a^p) = p \log_b a$:
$\log_3 (\frac{1}{9})^3 = 3 \log_3 \frac{1}{9}$.
Вычислим $\log_3 \frac{1}{9}$. Пусть $\log_3 \frac{1}{9} = x$. Тогда $3^x = \frac{1}{9}$.
Представим $\frac{1}{9}$ как степень числа 3: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Уравнение примет вид $3^x = 3^{-2}$, откуда $x = -2$.
Подставляем найденное значение: $3 \cdot (-2) = -6$.
Способ 2: Упрощение аргумента логарифма.
Представим аргумент логарифма как степень основания 3.
$(\frac{1}{9})^3 = (\frac{1}{3^2})^3 = (3^{-2})^3 = 3^{-6}$.
Тогда $\log_3 (\frac{1}{9})^3 = \log_3 3^{-6}$.
Используя свойство логарифма $\log_b b^p = p$, получаем: $\log_3 3^{-6} = -6$.
Ответ: -6

е) Вычислим значение выражения $\log_4 (\frac{1}{16})^5$.
Способ 1: Последовательное применение свойств.
Используем свойство логарифма степени $\log_b (a^p) = p \log_b a$:
$\log_4 (\frac{1}{16})^5 = 5 \log_4 \frac{1}{16}$.
Вычислим $\log_4 \frac{1}{16}$. Пусть $\log_4 \frac{1}{16} = x$. Тогда $4^x = \frac{1}{16}$.
Представим $\frac{1}{16}$ как степень числа 4: $\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$.
Уравнение примет вид $4^x = 4^{-2}$, откуда $x = -2$.
Подставляем найденное значение: $5 \cdot (-2) = -10$.
Способ 2: Упрощение аргумента логарифма.
Представим аргумент логарифма как степень основания 4.
$(\frac{1}{16})^5 = (\frac{1}{4^2})^5 = (4^{-2})^5 = 4^{-10}$.
Тогда $\log_4 (\frac{1}{16})^5 = \log_4 4^{-10}$.
Используя свойство логарифма $\log_b b^p = p$, получаем: $\log_4 4^{-10} = -10$.
Ответ: -10